(2,0 pontos) Considere uma transformação linear A: E \rightarrow F e responda os itens abaixo:
(a) Mostre que o operador linear A^{*} A: E \rightarrow E é auto-adjunto e não-negativo.
(b) Mostre que \operatorname{Ker}\left(A^{*} A\right)=\operatorname{Ker}(A).
(c) Conclua que \operatorname{dim} \operatorname{Im}(A)=\operatorname{dim} \operatorname{Im}\left(A^{*} A\right)

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear A: E \to F e pede três coisas. Informações e perguntas que temos:
  • Foi usado o símbolo A^{*}, portanto assume-se que E e F são espaços vetoriais com produto interno (sobre \mathbb{R} ou \mathbb{C}) e que A^{*}:F\to E é o adjunto de A, ou seja, para todos x\in E e y\in F vale
\langle A x, y\rangle_F = \langle x, A^{*} y\rangle_E.
  • Presuma-se que E é de dimensão finita (ou então que se está trabalhando com noções de posto/núcleo que tornam as dimensões bem-definidas).
    As perguntas são:
    (a) Mostrar que o operador linear A^{*}A: E\to E é auto-adjunto (self-adjoint) e não-negativo.
    (b) Mostrar que \operatorname{Ker}\!\left(A^{*} A\right)=\operatorname{Ker}(A).
    (c) Concluir que \dim \operatorname{Im}(A)=\dim \operatorname{Im}\!\left(A^{*} A\right).

Passo 2

Definições e fatos que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Adjunto: A^{*} é o operador que satisfaz \langle A x, y\rangle_F = \langle x, A^{*} y\rangle_E para todos x,y. Isso é a definição do adjunto.
  • Auto-adjunto (ou hermitiano): um operador T:E\to E é auto-adjunto se, para todos x,y\in E,
\langle T x, y\rangle_E = \langle x, T y\rangle_E.
  • Não-negativo (positivo semidefinido): um operador T:E\to E é não-negativo se, para todo x\in E,
\langle T x, x\rangle_E \ge 0.
  • Norma associada ao produto interno: \|v\|^2 = \langle v,v\rangle. Em particular \langle v,v\rangle\ge 0 e \langle v,v\rangle=0 sse v=0.
  • Teorema da dimensão (posto-nulidade / rank-nullity): para uma transformação linear T:V\to W com \dim V<\infty,
\dim V = \dim \ker T + \dim \operatorname{Im} T.
Vamos usar tudo isso, sempre escrevendo as etapas com as fórmulas e justificando cada passo.

Passo 3

Provar que A^{*}A é auto-adjunto.
  • Começo aplicando a propriedade do adjunto com u=Ax\in F e v=Ay\in F. Usando a definição do adjunto:
\langle A x, A y\rangle_F = \langle x, A^{*}(A y)\rangle_E = \langle x, A^{*}A y\rangle_E.
  • Por outro lado, também vale, novamente pela definição do adjunto aplicada a u=Ay e v=Ax,
\langle A y, A x\rangle_F = \langle y, A^{*}A x\rangle_E.
  • Em espaços com produto interno complexo temos a propriedade \langle u,v\rangle = \overline{\langle v,u\rangle}. Usando isso na igualdade acima e na primeiro igualdade observamos
\langle A^{*}A x, y\rangle_E = \langle A x, A y\rangle_F
e também
\langle x, A^{*}A y\rangle_E = \langle A x, A y\rangle_F.
Portanto, para todos x,y\in E,
\langle A^{*}A x, y\rangle_E = \langle x, A^{*}A y\rangle_E.
  • Essa é exatamente a condição de auto-adjunção. Conclusão: A^{*}A é auto-adjunto.

Passo 4

Provar que A^{*}A é não-negativo.
  • Para todo x\in E calcule a forma quadrática associada:
\langle A^{*}A x, x\rangle_E = \langle A x, A x\rangle_F = \|A x\|_F^{2}.
  • Como norma ao quadrado é sempre não-negativa, obtemos \langle A^{*}A x, x\rangle_E \ge 0 para todo x.
  • Logo A^{*}A é não-negativo (positivo semidefinido).
  • Observação útil: \langle A^{*}A x, x\rangle_E = 0 sse \|A x\|_F^{2}=0 sse A x=0. Esse fato será usado no item (b).

Passo 5

Provar (b): \operatorname{Ker}\!\left(A^{*} A\right)=\operatorname{Ker}(A).
  • Primeiro inclusão: se x\in \operatorname{Ker}(A) então A x=0. Aplicando A^{*} obtemos A^{*}A x = A^{*}0 = 0. Assim x\in \operatorname{Ker}\!\left(A^{*}A\right). Portanto \operatorname{Ker}(A)\subseteq \operatorname{Ker}\!\left(A^{*}A\right).
  • Segunda inclusão: se x\in \operatorname{Ker}\!\left(A^{*}A\right) então A^{*}A x = 0. Tomando o produto interno com x e usando o resultado do Passo 4,
0 = \langle A^{*}A x, x\rangle_E = \|A x\|_F^{2}.
Da igualdade da norma ao quadrado segue A x = 0. Logo x\in \operatorname{Ker}(A). Assim \operatorname{Ker}\!\left(A^{*}A\right)\subseteq \operatorname{Ker}(A).
  • Juntando as duas inclusões concluímos \operatorname{Ker}\!\left(A^{*}A\right)=\operatorname{Ker}(A).

Passo 6

Provar (c): \dim \operatorname{Im}(A)=\dim \operatorname{Im}\!\left(A^{*} A\right).
  • Use o teorema da dimensão (posto-nulidade) em A: E\to F:
\dim E = \dim \ker A + \dim \operatorname{Im} A.
  • Use o teorema da dimensão em A^{*}A: E\to E:
\dim E = \dim \ker(A^{*}A) + \dim \operatorname{Im}(A^{*}A).
  • Pelo Passo 5 sabemos que \dim \ker(A^{*}A) = \dim \ker A. Subtraindo as duas igualdades ou apenas igualando as expressões para \dim E obtemos
\dim \ker A + \dim \operatorname{Im} A = \dim \ker(A^{*}A) + \dim \operatorname{Im}(A^{*}A).
Como \dim \ker(A^{*}A) = \dim \ker A, segue imediatamente
\dim \operatorname{Im} A = \dim \operatorname{Im}(A^{*}A).
  • Comentário prático: isto diz que o posto de A e o posto de A^{*}A coincidem. (Isto também implica que \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^{*})=\operatorname{rank}(A^{*}A), mas para a conclusão pedida basta o que já fizemos.)

Resposta

(a) A^{*}A é auto-adjunto e não-negativo.
(b) \operatorname{Ker}\!\left(A^{*}A\right)=\operatorname{Ker}(A).
(c) \dim \operatorname{Im}(A)=\dim \operatorname{Im}\!\left(A^{*}A\right).

Exercícios relacionados