Encontre f^prime(x) para cada uma das seguintes funções f.
f(x)=sin (x-sin (xx-sin x)).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=sin!l(x - sin!l(tfracxx - sin xr)r)
Para isso usaremos a regra da cadeia, a derivada de sin e a regra do quociente para derivar tfracxx-sin x.

Passo 2

Pela regra da cadeia escrevemos f(x)=sin(u(x)) com u(x)=x-sin(v(x)). Assim,
f'(x)=cosl(u(x)r),u'(x)

Passo 3

Derivando u(x)=x-sin(v(x)) temos
u'(x)=1-cosl(v(x)r),v'(x)

Passo 4

Para v(x)=xx-sin x aplicamos a regra do quociente:
v'(x)=(x-sin x)cdot1 - xcdot(1-cos x)(x-sin x)^2
No numerador
(x-sin x)-x(1-cos x) =x-sin x - x + xcos x =xcos x - sin x,
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v'(x)=xcos x - sin x(x-sin x)^2

Passo 5

Substituindo u'(x) e v'(x) em f'(x) e voltando à expressão original, resulta
f'(x)=cos!l(x-sin!l(tfracxx-sin xr)r),l[1-cos!l(tfracxx-sin xr),xcos x - sin x(x-sin x)^2r]

Resposta

f'(x)=cos!l(x-sin!l(tfracxx-sin xr)r),l[1-cos!l(tfracxx-sin xr),xcos x - sin x(x-sin x)^2r]

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