Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
y^prime=e^x+y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = e^x+y
que é um caso clássico de equação separável. Para resolver, vamos separar as variáveis x e y em lados opostos e depois integrar.

Passo 2

Reescrevemos y'=dydx e notamos que
e^x+y = e^x,e^y
Logo,
dydx = e^x,e^y Longrightarrow e^-y,dy = e^x,dx

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
integral e^-y,dy = integral e^x,dx
No lado esquerdo, integral e^-y,dy = -e^-y. No direito, integral e^x,dx = e^x. Assim obtemos
-,e^-y = e^x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolamos e^-y e depois y. Primeiro, multiplicando por -1 e renomeando a constante:
e^-y = -,e^x - C = K - e^x,
onde definimos K=-C. Em seguida aplicamos o logaritmo natural:
-y = lnl(K - e^xr) Longrightarrow y = -lnl(K - e^xr)

Passo 5

Portanto, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = -lnl(C - e^xr),
onde C (ou K) é uma constante arbitrária determinada por alguma condição inicial, caso exista.

Resposta

y(x) = -lnl(C - e^xr),
com C constante de integração.

Exercícios relacionados