Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
que é um caso clássico de equação separável. Para resolver, vamos separar as variáveis
e
em lados opostos e depois integrar.
Passo 2
Reescrevemos
e notamos que
Logo,
Passo 3
Agora integramos os dois lados:
No lado esquerdo,
. No direito,
. Assim obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Isolamos
e depois
. Primeiro, multiplicando por
e renomeando a constante:
onde definimos
. Em seguida aplicamos o logaritmo natural:
Passo 5
Portanto, a solução geral da equação diferencial é
onde
(ou
) é uma constante arbitrária determinada por alguma condição inicial, caso exista.
Resposta
com
constante de integração.