Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
d yd x+2 y=e^-x^2-2 x, y(0)=3

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear
dydx + 2y = e^-x^2-2x
com condição inicial y(0)=3.
O conteúdo necessário é a técnica do fator integrante para equações lineares da forma
dydx + p(x),y = q(x)

Passo 2

Identificamos p(x)=2, então o fator integrante mu(x) é
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(integral 2,dxr) = e^2x
Multiplicamos a equação original por e^2x:
e^2xdydx + 2e^2xy = e^2xe^-x^2-2x
ou seja
ddxl(e^2xyr) = e^-x^2

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a :
Note que não tem antiderivada elementar e pode ser deixada sob forma de integral ou expressa em termos da função erro .

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=3. Em x=0 temos
e^0cdot 3 = integral0^0 e^-t^2,dt + C Longrightarrow 3 = 0 + C Longrightarrow C = 3

Passo 5

Portanto a solução que satisfaz y(0)=3 é
y(x) = e^-2xl(integral0^x e^-t^2,dt + 3r)

Resposta

y(x)=e^-2xl(3 + integral0^xe^-t^2,dtr)

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