Encontre
Passo 1
O enunciado pede: encontrar
para a função
Informações relevantes que temos (e que vou assumir porque o enunciado não explicita):
-
é um coeficiente que não depende de (ou seja, é uma constante em relação a ). -
é uma função diferenciável de uma variável real, de modo que existe para os pontos que precisarmos. - A notação
significa , isto é: aplica-se ao argumento e depois eleva-se o resultado à quarta potência.
A única pergunta é: calcular a derivada.
Passo 2
Revisão das regras que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
- Regra do multiplicador constante:
Seé constante e é diferenciável, então
Aqui isso permite retirar
para fora da diferenciação.
- Regra da cadeia (em versão prática):
Se uma função é composição de outras, por exemplo, então
Isto diz: deriva a função externa em relação à função interna e multiplica pela derivada da interna.
- Regra da potência (caso geral com função interna):
Secom constante, então usando a cadeia
Isto é só a combinação da potência com a cadeia.
Vou usar essas três ideias: tirar
para fora, aplicar potência+cadeia ao termo
e dentro disso aplicar a cadeia novamente para
(pois é
aplicada a
).
Passo 3
Organizando as composições da função para ver claramente as “camadas”:
- Função interna mais interna:
. - Função no meio:
, então . - Função externa:
, então .
Vamos aplicar a cadeia em duas etapas: primeiro derivar
em relação a
, depois derivar
em relação a
, e por fim derivar
.
Passo 4
Derivada de cada camada:
a) Derivada da camada externa
:
Aplicando em
teremos um fator
.
b) Derivada da camada do meio
:
Ao avaliar em
isso dá o fator
.
c) Derivada da camada mais interna
:
Passo 5
Juntando tudo com a regra da cadeia (e lembrando da constante
multiplicando):
Pela regra do multiplicador constante:
Pela regra da potência + cadeia (camada externa) seguida da cadeia para
, obtemos o produto dos fatores obtidos no Passo 4:
Passo 6
Agora simplificar os coeficientes numéricos e escrever a derivada organizada:
Multiplicando os constantes
e
obtemos
. Portanto a derivada completa é
que simplifica para