Encontre f^{\prime}(x)
f(x)=t g^{4}\left(x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar f^{\prime}(x) para a função
f(x)=t\,g^{4}\!\bigl(x^{3}\bigr).
Informações relevantes que temos (e que vou assumir porque o enunciado não explicita):
  • t é um coeficiente que não depende de x (ou seja, é uma constante em relação a x).
  • g é uma função diferenciável de uma variável real, de modo que g'(u) existe para os pontos que precisarmos.
  • A notação g^{4}\bigl(x^{3}\bigr) significa \bigl(g(x^{3})\bigr)^{4}, isto é: aplica-se g ao argumento x^{3} e depois eleva-se o resultado à quarta potência.
    A única pergunta é: calcular a derivada f^{\prime}(x).

Passo 2

Revisão das regras que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
  1. Regra do multiplicador constante:
    Se c é constante e h(x) é diferenciável, então
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot h(x)\bigr)=c\cdot h'(x).
Aqui isso permite retirar t para fora da diferenciação.
  1. Regra da cadeia (em versão prática):
    Se uma função é composição de outras, por exemplo H(x)=U(V(x)), então
H'(x)=U'\bigl(V(x)\bigr)\cdot V'(x).
Isto diz: deriva a função externa em relação à função interna e multiplica pela derivada da interna.
  1. Regra da potência (caso geral com função interna):
    Se H(x)=(\Phi(x))^{n} com n constante, então usando a cadeia
\frac{d}{dx}(\Phi(x))^{n}=n\cdot(\Phi(x))^{n-1}\cdot \Phi'(x).
Isto é só a combinação da potência com a cadeia.
Vou usar essas três ideias: tirar t para fora, aplicar potência+cadeia ao termo \bigl(g(x^{3})\bigr)^{4} e dentro disso aplicar a cadeia novamente para g(x^{3}) (pois é g aplicada a x^{3}).

Passo 3

Organizando as composições da função para ver claramente as “camadas”:
  • Função interna mais interna: u(x)=x^{3}.
  • Função no meio: v(u)=g(u), então v(u(x))=g(x^{3}).
  • Função externa: w(z)=z^{4}, então w(v(u(x)))=\bigl(g(x^{3})\bigr)^{4}.
Vamos aplicar a cadeia em duas etapas: primeiro derivar w(v) em relação a v, depois derivar v(u) em relação a u, e por fim derivar u(x)=x^{3}.

Passo 4

Derivada de cada camada:
a) Derivada da camada externa w(z)=z^{4}:
w'(z)=4z^{3}.
Aplicando em z=v(u(x))=g(x^{3}) teremos um fator 4\bigl(g(x^{3})\bigr)^{3}.
b) Derivada da camada do meio v(u)=g(u):
\frac{d}{du}g(u)=g'(u).
Ao avaliar em u=u(x)=x^{3} isso dá o fator g'\bigl(x^{3}\bigr).
c) Derivada da camada mais interna u(x)=x^{3}:
u'(x)=\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.

Passo 5

Juntando tudo com a regra da cadeia (e lembrando da constante t multiplicando):
Pela regra do multiplicador constante:
\frac{d}{dx}\bigl(t\cdot \bigl(g(x^{3})\bigr)^{4}\bigr) = t\cdot \frac{d}{dx}\bigl(\bigl(g(x^{3})\bigr)^{4}\bigr).
Pela regra da potência + cadeia (camada externa) seguida da cadeia para g(x^{3}), obtemos o produto dos fatores obtidos no Passo 4:
\frac{d}{dx}\bigl(\bigl(g(x^{3})\bigr)^{4}\bigr) = 4\bigl(g(x^{3})\bigr)^{3}\cdot g'\bigl(x^{3}\bigr)\cdot 3x^{2}.

Passo 6

Agora simplificar os coeficientes numéricos e escrever a derivada organizada:
Multiplicando os constantes 4 e 3 obtemos 12. Portanto a derivada completa é
f'(x)=t\cdot 4\bigl(g(x^{3})\bigr)^{3}\cdot g'\bigl(x^{3}\bigr)\cdot 3x^{2}
que simplifica para
f'(x)=12\,t\,x^{2}\,\bigl(g(x^{3})\bigr)^{3}\,g'\bigl(x^{3}\bigr).

Resposta

f'(x)=12\,t\,x^{2}\,g^{3}\bigl(x^{3}\bigr)\,g'\bigl(x^{3}\bigr)

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