Encontre F(s) ou f(t) como indicado:
L\left\{t\left(e^{t}+e^{2 t}\right)^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace F(s)=\mathcal{L}\{t\,(e^t+e^{2t})^2\}.
O conteúdo envolve:
– expansão de potências de exponenciais,
– linearidade da transformada de Laplace,
– uso da fórmula \mathcal{L}\{t\,e^{a t}\}=\frac{1}{(s-a)^2}.

Passo 2

Primeiro expandimos o quadrado:
(e^t + e^{2t})^2 = e^{2t} + 2\,e^{3t} + e^{4t}.

Passo 3

Pela linearidade da transformada:
F(s) = \mathcal{L}\{t\,e^{2t}\} + 2\,\mathcal{L}\{t\,e^{3t}\} + \mathcal{L}\{t\,e^{4t}\}.

Passo 4

Usando a tabela
\mathcal{L}\{t\,e^{a t}\}=\frac{1}{(s-a)^2},\quad s>a,
obtemos
F(s) = \frac{1}{(s-2)^2} + \frac{2}{(s-3)^2} + \frac{1}{(s-4)^2},
válido para s>4.

Resposta

F(s)=\frac{1}{(s-2)^2}+\frac{2}{(s-3)^2}+\frac{1}{(s-4)^2},\quad s>4.

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