(UFRJ - adaptado) Com o objetivo de criticar os processos infinitos, utilizados em demonstrações matemáticas de sua época, o filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático. Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da seguinte maneira: “Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a tartaruga um milímetro; Aquiles corre esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e assim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la.” Fazendo a conversão para metros, a distância d percorrida por Aquiles nessa fábula é
d=10+\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^{n}
Determine d.

Passo 1

O enunciado nos diz que Aquiles percorre inicialmente 10 metros e, depois, percorre infinitamente distâncias que formam a soma
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{10}\Bigr)^{n}.
O conteúdo que precisamos usar é a soma de uma série geométrica infinita com razão \lvert r\rvert<1.

Passo 2

Uma série geométrica infinita de primeiro termo a e razão r satisfaz, para \lvert r\rvert<1,
\sum_{n=0}^{\infty}ar^n = \frac{a}{1-r}.
No nosso caso, a = 1 (pois o termo para n=0 é (1/10)^0=1) e r = \tfrac{1}{10}.

Passo 3

Aplicando a fórmula da soma infinita, obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{10}\Bigr)^{n} = \frac{1}{1 - \tfrac{1}{10}} = \frac{1}{\tfrac{9}{10}} = \frac{10}{9}.

Passo 4

A distância total d percorrida por Aquiles é
d = 10 + \frac{10}{9} = \frac{90}{9} + \frac{10}{9} = \frac{100}{9}.

Resposta

d = \frac{100}{9}\text{ metros}.

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