(ITA - adaptado) Sabendo que (x+2 y, 3 x-5 y, 8 x-2 y, 11 x-7 y+2 z) é uma progressão aritmética com o último termo igual a -127 , determine o valor do produto x y z.

Passo 1

O enunciado diz que os quatro termos
T_1 = x + 2y,\quad T_2 = 3x - 5y,\quad T_3 = 8x - 2y,\quad T_4 = 11x - 7y + 2z
formam uma progressão aritmética (PA) e que T_4 = -127. Em toda PA, a diferença entre termos consecutivos é constante:
T_2 - T_1 = T_3 - T_2 = T_4 - T_3.
Queremos achar o produto x\,y\,z.

Passo 2

Vamos igualar a diferença entre o segundo e o primeiro termos à diferença entre o terceiro e o segundo:
(3x - 5y) - (x + 2y) \;=\;(8x - 2y) - (3x - 5y).
Calcule cada lado:
2x - 7y \;=\;5x + 3y.
Rearranjando,
2x - 7y - 5x - 3y = 0 \quad\Longrightarrow\quad -3x -10y = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x + 10y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -\tfrac{10}{3}\,y.

Passo 3

Chamando de d a diferença comum, temos
d = T_2 - T_1 = 2x - 7y.
Agora igualamos a diferença entre o quarto e o terceiro termos a d:
(11x - 7y + 2z) - (8x - 2y) = d.
O lado esquerdo é
3x - 5y + 2z,
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3x - 5y + 2z = 2x - 7y.
Substituindo x = -\tfrac{10}{3}y:
3\bigl(-\tfrac{10}{3}y\bigr) - 5y + 2z = 2\bigl(-\tfrac{10}{3}y\bigr) -7y \quad\Longrightarrow\quad -10y -5y + 2z = -\tfrac{20}{3}y -7y.
O lado direito é -\tfrac{20}{3}y - \tfrac{21}{3}y = -\tfrac{41}{3}y, então
-15y + 2z = -\tfrac{41}{3}y \quad\Longrightarrow\quad 2z = 15y - \tfrac{41}{3}y = \tfrac{4}{3}y \quad\Longrightarrow\quad z = \tfrac{2}{3}y.

Passo 4

Agora usamos T_4 = -127:
11x - 7y + 2z = -127.
Substituindo x = -\tfrac{10}{3}y e z = \tfrac{2}{3}y:
11\bigl(-\tfrac{10}{3}y\bigr) -7y + 2\bigl(\tfrac{2}{3}y\bigr) = -\tfrac{110}{3}y -7y + \tfrac{4}{3}y = -\tfrac{110}{3}y - \tfrac{21}{3}y + \tfrac{4}{3}y = -\tfrac{127}{3}y.
Então
-\tfrac{127}{3}y = -127 \quad\Longrightarrow\quad y = 3.

Passo 5

Com y = 3, obtemos
x = -\tfrac{10}{3}\cdot 3 = -10, \qquad z = \tfrac{2}{3}\cdot 3 = 2.

Passo 6

Finalmente, o produto é
x\,y\,z = (-10)\times 3 \times 2 = -60.

Resposta

-60

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