Com relação ao problema de valor inicial y^prime prime+16 y=cos (4 t), y(0)=0, y^prime(0)=1. Podemos afirmar que a transformada de Laplace Y(s)=Ly(s), e a solução y(t) são dadas por:
(a)
(s^2+16) Y(s)=1+s /(s^2+4) e 4 y(t)= -2 sen(4 t)+t sen(4 t)
(b)
nenhuma das demais alternativas
(s^2-16) Y(s)=1+s /(s^2+4) e 2 y(t)= -2 sen(4 t)-t sen(4 t)
(d)
(s^2+16) Y(s)=1+s /(s^2+16) e 8 y(t)= 2 sen(4 t)+t sen(4 t)
(e)
(s^2-16) Y(s)=1+s /(s^2+16) e y(t)= 2 sen(4 t)-t sen(4 t)

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial para a equação diferencial linear de segunda ordem y'' + 16y = cos(4t) com condições y(0)=0 e y'(0)=1. Vamos usar transformada de Laplace para resolver, pois ela converte a EDO em uma equação algébrica em s.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados: sabendo que Ly'' = s^2Y(s) - s y(0) - y'(0) e Ly = Y(s), obtemos
s^2Y(s) - scdot 0 - 1 + 16Y(s) = ss^2+16

Passo 3

Agrupando Y(s) e simplificando a constante, temos
(s^2 + 16),Y(s) = 1 + ss^2+16

Passo 4

Agora invertendo a transformada. Escrevendo
Y(s) = 1s^2+16 + s(s^2+16)^2
usamos que L^-11/(s^2+16) = tfrac14sin(4t) e que L^-1s/(s^2+16)^2 = tfrac18,tsin(4t). Logo
y(t) = 14sin(4t) + 18,tsin(4t)

Passo 5

Multiplicando por 8 para comparar com as alternativas,
8,y(t) = 2sin(4t) + tsin(4t)

Passo 6

Portanto a única alternativa que bate com a equação em s e a forma de y(t) é a letra (d).

Resposta

(s^2+16)Y(s)=1+ss^2+16
8y(t)=2sin(4t)+tsin(4t)

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