Encontre um fator integrante apropriado e resolva a equação
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial
As informações relevantes que temos (peguei direto do enunciado):
-
é o coeficiente de . -
é o coeficiente de .
O que o problema pede: - Encontrar um fator integrante apropriado.
- Resolver a equação (ou seja, obter a solução geral).
Passo 2
Primeiro verifico se a equação é exata. Lembre-se: uma equação
é exata se
Calculo as derivadas parciais:
Como
, a equação NÃO é exata. Então preciso de um fator integrante.
Passo 3
Método para achar fator integrante simples: procurar um fator integrante que dependa só de
ou só de
.
- Se existir
(apenas função de ), uma condição prática é que a função
dependa apenas de
. Nesse caso
.
- Se existir
(apenas função de ), verifica-se se
depende apenas de
.
Vou calcular a primeira expressão (porque
é simples):
É uma constante (ou seja, depende apenas de
, de forma trivial). Portanto existe um fator integrante que depende só de
, dado por
Explicando intuitivamente: multiplicando toda a equação por
vamos transformar os coeficientes para que a condição de exatidão passe a valer.
Passo 4
Multiplico a equação original por
. Obtenho
Defino os novos coeficientes
e
:
Passo 5
Verifico que a equação multiplicada é exata: calculo as derivadas parciais
Como
, a equação é agora exata.
Passo 6
Para resolver uma equação exata, existe uma função potencial
tal que
Integro
em relação a
(tratando
como constante):
Calculo cada termo separadamente:
Somando e adicionando uma função arbitrária de
,
, que aparece porque a integral foi em
:
Passo 7
Determino
usando
. Calculo
:
Isso deve ser igual a
. Logo
Portanto
é constante, digamos
.
Passo 8
A solução implícita geral é dada por
constante, ou seja
onde
é constante arbitrária. Se quiser isolar
, resolvo para
:
Pronto — essa é a família de soluções gerais da equação diferencial dada.