Encontre um fator integrante apropriado e resolva a equação
\left(10-6 y+e^{-3 x}\right) d x-2 d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial
\left(10-6 y+e^{-3 x}\right) d x-2 d y=0.
As informações relevantes que temos (peguei direto do enunciado):
  • M(x,y)=10-6y+e^{-3x} é o coeficiente de d x.
  • N(x,y)=-2 é o coeficiente de d y.
    O que o problema pede:
  • Encontrar um fator integrante apropriado.
  • Resolver a equação (ou seja, obter a solução geral).

Passo 2

Primeiro verifico se a equação é exata. Lembre-se: uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(10-6y+e^{-3x}\bigr)=-6,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-2)=0.
Como -6\neq0, a equação NÃO é exata. Então preciso de um fator integrante.

Passo 3

Método para achar fator integrante simples: procurar um fator integrante que dependa só de x ou só de y.
  • Se existir \mu(x) (apenas função de x), uma condição prática é que a função
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
dependa apenas de x. Nesse caso \mu(x)=\exp\!\Big(\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}\,dx\Big).
  • Se existir \mu(y) (apenas função de y), verifica-se se
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}
depende apenas de y.
Vou calcular a primeira expressão (porque N=-2 é simples):
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{-6-0}{-2}=3.
É uma constante (ou seja, depende apenas de x, de forma trivial). Portanto existe um fator integrante que depende só de x, dado por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int 3\,dx\Big)=\exp(3x)=e^{3x}.
Explicando intuitivamente: multiplicando toda a equação por \mu(x) vamos transformar os coeficientes para que a condição de exatidão passe a valer.

Passo 4

Multiplico a equação original por \mu(x)=e^{3x}. Obtenho
e^{3x}\bigl(10-6y+e^{-3x}\bigr)\,dx-2e^{3x}\,dy=0.
Defino os novos coeficientes \widetilde M e \widetilde N:
\widetilde M(x,y)=e^{3x}\bigl(10-6y+e^{-3x}\bigr)=10e^{3x}+1-6y e^{3x},
\widetilde N(x,y)=-2e^{3x}.

Passo 5

Verifico que a equação multiplicada é exata: calculo as derivadas parciais
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(10e^{3x}+1-6y e^{3x}\bigr)=-6e^{3x},
\frac{\partial \widetilde N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-2e^{3x})=-2\cdot 3 e^{3x}=-6e^{3x}.
Como \frac{\partial \widetilde M}{\partial y}=\frac{\partial \widetilde N}{\partial x}, a equação é agora exata.

Passo 6

Para resolver uma equação exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\widetilde M(x,y),\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\widetilde N(x,y).
Integro \widetilde M em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=\int\bigl(10e^{3x}+1-6y e^{3x}\bigr)\,dx.
Calculo cada termo separadamente:
\int 10e^{3x}\,dx=\frac{10}{3}e^{3x},
\int 1\,dx = x,
\int (-6y)e^{3x}\,dx = -6y\cdot\frac{1}{3}e^{3x}=-2y e^{3x}.
Somando e adicionando uma função arbitrária de y, h(y), que aparece porque a integral foi em x:
\Phi(x,y)=\frac{10}{3}e^{3x}+x-2y e^{3x}+h(y).

Passo 7

Determino h(y) usando \Phi_y=\widetilde N. Calculo \Phi_y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{10}{3}e^{3x}+x-2y e^{3x}+h(y)\Big)=-2e^{3x}+h'(y).
Isso deve ser igual a \widetilde N=-2e^{3x}. Logo
-2e^{3x}+h'(y)=-2e^{3x}\quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Portanto h(y) é constante, digamos h(y)=C.

Passo 8

A solução implícita geral é dada por \Phi(x,y)= constante, ou seja
\frac{10}{3}e^{3x}+x-2y e^{3x}=C,
onde C é constante arbitrária. Se quiser isolar y, resolvo para y:
-2y e^{3x}=C-\frac{10}{3}e^{3x}-x
y=\frac{\frac{10}{3}e^{3x}+x-C}{2e^{3x}}.
Pronto — essa é a família de soluções gerais da equação diferencial dada.

Resposta

\mu(x)=e^{3x}
\displaystyle \frac{10}{3}e^{3x}+x-2y e^{3x}=C

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