Considere uma curva C=C_{1} \cup C_{2}, onde C_{1} é a parte da circunferência x^{2}+y^{2}=2, percorrida no sentido anti-horário, de (1,-1) para (0, \sqrt{2}) e C_{2} o segmento de reta de (0, \sqrt{2}) para (0,0). Calcule \int_{C}\left(y+x^{100}\right) d x+\left(2 x+y^{100}\right) d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\left(y+x^{100}\right)\,dx+\left(2x+y^{100}\right)\,dy,
onde C=C_{1}\cup C_{2} é composta por:
  • C_{1}: parte da circunferência x^{2}+y^{2}=2, percorrida no sentido anti-horário, de (1,-1) até (0,\sqrt{2}).
  • C_{2}: segmento de reta de (0,\sqrt{2}) até (0,0).
As informações relevantes:
  • O campo vetorial é F(x,y)=(P,Q) com P(x,y)=y+x^{100} e Q(x,y)=2x+y^{100}.
  • Os pontos/endpoints: (1,-1), (0,\sqrt{2}) e (0,0).
  • A curva C não é fechada; o caminho começa em (1,-1) e termina em (0,0).
O que é pedido: calcular o valor numérico da integral de linha ao longo de C.

Passo 2

Vamos escolher um método. Observação útil: calcular a integral separando em C_{1} e C_{2} e parametrizando a circunferência daria contas com potências altas se feito diretamente. Em vez disso, vamos usar uma ideia que costuma simplificar: fechar a curva com um segmento simples e aplicar o Teorema de Green, porque as derivadas parciais de P e Q são simples aqui.
Lembrete do Teorema de Green (explicado devagar):
  • Se \Gamma é uma curva fechada e positivamente orientada que limita uma região R no plano, então
\oint_{\Gamma} P\,dx+Q\,dy=\iint_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
  • Aqui \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x (mantendo y fixo) e \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(2x+y^{100}\right)=2, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(y+x^{100}\right)=1.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2-1=1,
uma constante muito simples. Isso indica que a integral sobre uma curva fechada vale simplesmente a área da região (porque o integrando é 1).
Para aplicar Green precisamos de uma curva fechada. Vamos fechar C adicionando o segmento S que liga (0,0) a (1,-1) (ou seja, o segmento radial no ângulo -\pi/4). Definimos a curva fechada
\Gamma = C + S,
onde S é o segmento de (0,0) para (1,-1). Se orientarmos S de (0,0) para (1,-1), a curva fechada \Gamma fica orientada positivamente (contra o relógio) e o Teorema de Green pode ser usado.

Passo 3

Aplicando Green à curva fechada \Gamma:
\oint_{\Gamma} P\,dx+Q\,dy=\iint_{R} 1\,dA = \text{Área}(R),Á
onde R é a região limitada por \Gamma. Vamos descrever R: é a região do disco de raio \sqrt{2} entre os ângulos \theta=-\pi/4 (ponto (1,-1)) e \theta=\pi/2 (ponto (0,\sqrt{2})), ou seja, um setor circular de raio r=\sqrt{2} e amplitude angular
\Delta\theta=\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3\pi}{4}.
A área de um setor circular é \frac{1}{2}r^{2}\Delta\theta. Aqui r^{2}=2, então
\text{Área}(R)=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\frac{3\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}.Á
Portanto
\oint_{\Gamma} P\,dx+Q\,dy=\frac{3\pi}{4}.

Passo 4

Agora relacionamos a integral que queremos com a integral sobre \Gamma. Por construção,
\oint_{\Gamma} P\,dx+Q\,dy=\int_{C} P\,dx+Q\,dy + \int_{S} P\,dx+Q\,dy.
Portanto
\int_{C} P\,dx+Q\,dy = \oint_{\Gamma} P\,dx+Q\,dy - \int_{S} P\,dx+Q\,dy.
Já sabemos \oint_{\Gamma} P\,dx+Q\,dy=\dfrac{3\pi}{4}. Falta calcular a integral ao longo de S, o segmento de (0,0) a (1,-1).

Passo 5

Parametrização do segmento S: uma parametrização simples é
\mathbf{r}(t)=(t,-t),\qquad 0\le t\le 1,
assim x(t)=t, y(t)=-t, dx=dt, dy=-dt.
Avalie P e Q ao longo de S:
P(x,y)=y+x^{100} = -t + t^{100},
Q(x,y)=2x+y^{100} = 2t+(-t)^{100}=2t+t^{100}\quad(\text{pois }100\text{ é par}).é
O integrando é
P\,dx+Q\,dy = \bigl(-t+t^{100}\bigr)\,dt + \bigl(2t+t^{100}\bigr)\,(-dt).
Simplificando:
\bigl(-t+t^{100}\bigr) + \bigl(2t+t^{100}\bigr)(-1) = -t+t^{100}-2t-t^{100} = -3t.
Note que os termos com t^{100} se cancelam — isso facilita muito as contas.
Logo
\int_{S} P\,dx+Q\,dy = \int_{0}^{1} (-3t)\,dt = -3\cdot\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}.

Passo 6

Agora combine os resultados:
\int_{C} P\,dx+Q\,dy = \oint_{\Gamma} P\,dx+Q\,dy - \int_{S} P\,dx+Q\,dy = \frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3\pi}{4} + \frac{3}{2}.

Resposta

\dfrac{3\pi}{4}+\dfrac{3}{2}

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