Considere uma curva
, onde
é a parte da circunferência
, percorrida no sentido anti-horário, de
para
e
o segmento de reta de
para
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é composta por:
-
: parte da circunferência , percorrida no sentido anti-horário, de até . -
: segmento de reta de até .
As informações relevantes:
- O campo vetorial é
com e . - Os pontos/endpoints:
, e . - A curva
não é fechada; o caminho começa em e termina em .
O que é pedido: calcular o valor numérico da integral de linha ao longo de
.
Passo 2
Vamos escolher um método. Observação útil: calcular a integral separando em
e
e parametrizando a circunferência daria contas com potências altas se feito diretamente. Em vez disso, vamos usar uma ideia que costuma simplificar: fechar a curva com um segmento simples e aplicar o Teorema de Green, porque as derivadas parciais de
e
são simples aqui.
Lembrete do Teorema de Green (explicado devagar):
- Se
é uma curva fechada e positivamente orientada que limita uma região no plano, então
- Aqui
é a derivada parcial de em relação a (mantendo fixo) e é a derivada parcial de em relação a .
Calcule as derivadas parciais:
Logo
uma constante muito simples. Isso indica que a integral sobre uma curva fechada vale simplesmente a área da região (porque o integrando é
).
Para aplicar Green precisamos de uma curva fechada. Vamos fechar
adicionando o segmento
que liga
a
(ou seja, o segmento radial no ângulo
). Definimos a curva fechada
onde
é o segmento de
para
. Se orientarmos
de
para
, a curva fechada
fica orientada positivamente (contra o relógio) e o Teorema de Green pode ser usado.
Passo 3
Aplicando Green à curva fechada
:
onde
é a região limitada por
. Vamos descrever
: é a região do disco de raio
entre os ângulos
(ponto
) e
(ponto
), ou seja, um setor circular de raio
e amplitude angular
A área de um setor circular é
. Aqui
, então
Portanto
Passo 4
Agora relacionamos a integral que queremos com a integral sobre
. Por construção,
Portanto
Já sabemos
. Falta calcular a integral ao longo de
, o segmento de
a
.
Passo 5
Parametrização do segmento
: uma parametrização simples é
assim
,
,
,
.
Avalie
e
ao longo de
:
O integrando é
Simplificando:
Note que os termos com
se cancelam — isso facilita muito as contas.
Logo
Passo 6
Agora combine os resultados: