Seja \vec{F}(x, y)=\left(x+3 y+y^{10}, 3 x+10 x y^{9}+\ln \left(1+y^{2}\right)\right). Mostre que a integral \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} é independente do caminho e calcule-a para C:(x-1)^{2}+y^{2}=1, \quad y \geq 1, no sentido horário.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y)=\bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr)=\bigl(x+3y+y^{10},\;3x+10xy^{9}+\ln(1+y^{2})\bigr)
e pede duas coisas:
  • Mostrar que a integral \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} é independente do caminho.
  • Calcular essa integral para a curva C definida por (x-1)^{2}+y^{2}=1,\; y\ge 1, percorrida no sentido horário.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • As componentes P e Q estão explicitadas acima.
  • A curva C é parte da circunferência de centro (1,0) e raio 1, com a restrição y\ge 1 e orientação horário.
Observação sobre a restrição y\ge 1: tal condição em (x-1)^{2}+y^{2}=1 é muito restritiva — o máximo de y na circunferência é y=1, alcançado apenas no ponto (1,1). Portanto, se o enunciado for literalmente com y\ge 1, a “curva” C reduz-se ao ponto (1,1) (não há arco não trivial). Se for esse o caso, a integral ao longo de C é nula por ser um caminho degenerado de comprimento zero.
Como isso parece ser provavelmente um lapso de digitação (muitos exercícios usam y\ge 0 para indicar o semicírculo superior), vou:
  • primeiro mostrar que o campo é conservativo (portanto integral independente do caminho), e
  • depois calcular a integral no caso não trivial mais provável, onde C é o semicírculo superior (x-1)^{2}+y^{2}=1,\; y\ge 0, percorrido no sentido horário; também citarei o caso degenerado y\ge 1.

Passo 2

Conceito: para verificar se a integral de linha de \vec{F}=(P,Q) é independente do caminho em \mathbb{R}^{2}, um critério prático é checar se as derivadas parciais mistas coincidem:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
em uma região simplesmente conexa onde \vec{F} está definida. Se isso ocorre e a região for simplesmente conexa, então existe uma potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}; daí a integral de linha entre dois pontos depende apenas desses pontos (teorema fundamental para gradientes).
Antes de calcular, verificar domínio: a função \ln(1+y^{2}) está definida para todo y\in\mathbb{R}, logo \vec{F} é definida em todo \mathbb{R}^{2}, que é simplesmente conexa. Portanto o critério acima é aplicável.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais mistas explicitamente.
Primeiro
P(x,y)=x+3y+y^{10}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial y}=3+10y^{9}.
Depois
Q(x,y)=3x+10xy^{9}+\ln(1+y^{2})\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=3+10y^{9}.
Portanto
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=3+10y^{9}.

Passo 4

Conclusão do critério: como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo \mathbb{R}^{2} (região simplesmente conexa), o campo \vec{F} é conservativo. Logo a integral de linha \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} é independente do caminho: depende apenas dos pontos inicial e final.
Explicação didática rápida: ser conservativo significa que existe uma função escalar \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}. A integral de linha de um gradiente entre dois pontos A e B é simplesmente \varphi(B)-\varphi(A). Essa é a ferramenta que vamos usar para calcular a integral de forma rápida e sem parametrizar o arco.

Passo 5

Encontrar a função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=x+3y+y^{10}, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y)=3x+10xy^{9}+\ln(1+y^{2}).
Integramos P em relação a x (tratando y como constante):
\varphi(x,y)=\int (x+3y+y^{10})\,dx=\frac{x^{2}}{2}+3xy+xy^{10}+g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 6

Determinar g(y) impondo que \varphi_{y}=Q.
Calcular \varphi_{y} a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=3x+10xy^{9}+g'(y).
Comparando com Q(x,y)=3x+10xy^{9}+\ln(1+y^{2}) obtemos
g'(y)=\ln(1+y^{2}).
Assim
g(y)=\int \ln(1+y^{2})\,dy.
Vamos calcular \displaystyle \int \ln(1+y^{2})\,dy passo a passo (integração por partes).
Escolha para integrar por partes:
  • u=\ln(1+y^{2}) \Rightarrow du=\dfrac{2y}{1+y^{2}}\,dy.
  • dv=dy \Rightarrow v=y.
Então
\int \ln(1+y^{2})\,dy = y\ln(1+y^{2}) - \int y\cdot\frac{2y}{1+y^{2}}\,dy = y\ln(1+y^{2}) - 2\int \frac{y^{2}}{1+y^{2}}\,dy.
Reescrevendo o integrando
\frac{y^{2}}{1+y^{2}} = 1 - \frac{1}{1+y^{2}},
logo
-2\int \frac{y^{2}}{1+y^{2}}\,dy = -2\int\left(1 - \frac{1}{1+y^{2}}\right)dy = -2y + 2\arctan y + C.
Somando,
\int \ln(1+y^{2})\,dy = y\ln(1+y^{2}) -2y + 2\arctan y + C.
Portanto podemos escolher g(y)=y\ln(1+y^{2}) -2y + 2\arctan y (absorvendo constantes em \varphi).

Passo 7

Escrever a potencial completa \varphi(x,y). Juntando os resultados,
\varphi(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+3xy+xy^{10}+y\ln(1+y^{2})-2y+2\arctan y + C.
Podemos tomar C=0 sem perda de generalidade, pois a integral de linha usa diferença de valores de \varphi.
Interpretação prática: para qualquer caminho C que vá de um ponto A até um ponto B,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(B)-\varphi(A).

Passo 8

Agora avaliar a integral para a curva C dada.
Primeiro, tratar do caso literal fornecido no enunciado: (x-1)^{2}+y^{2}=1,\; y\ge 1.
  • Como observado no Passo 1, essa condição só é satisfeita no ponto (1,1). Assim C é um caminho degenerado (um ponto) e a integral ao longo de um caminho de comprimento zero é
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0.
Segundo, tratar o caso provavelmente pretendido (semicírculo superior): supondo que a intenção era y\ge 0, então C é o semicírculo superior da circunferência de centro (1,0) e raio 1. Os pontos extremos desse arco são:
  • ponto esquerdo A=(0,0),
  • ponto direito B=(2,0).
Precisamos tomar cuidado com a orientação: o enunciado pede sentido horário. Para a circunferência com centro (1,0), o sentido horário percorre o semicírculo superior de A=(0,0) até B=(2,0) (subindo à esquerda, passando por (1,1), descendo à direita). Logo o ponto inicial é A=(0,0) e o final é B=(2,0). Portanto, pela independência do caminho,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(B)-\varphi(A)=\varphi(2,0)-\varphi(0,0).

Passo 9

Avaliar \varphi nos pontos necessários (usar a expressão do Passo 7 com C=0).
Calculando \varphi(2,0):
\varphi(2,0)=\frac{2^{2}}{2}+3\cdot 2\cdot 0 + 2\cdot 0^{10} + 0\cdot\ln(1+0^{2}) -2\cdot 0 + 2\arctan 0 = \frac{4}{2}=2.
Calculando \varphi(0,0):
\varphi(0,0)=\frac{0^{2}}{2}+3\cdot 0\cdot 0 + 0\cdot 0^{10} + 0\cdot\ln(1+0^{2}) -2\cdot 0 + 2\arctan 0 = 0.
Portanto, no caso do semicírculo superior percorrido no sentido horário,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(2,0)-\varphi(0,0)=2-0=2.

Resposta

Se a condição y\ge 1 for tomada literalmente (então C reduz-se ao ponto (1,1)): 0
Se o que se pretendia era o semicírculo superior (x-1)^{2}+y^{2}=1,\; y\ge 0 percorrido no sentido horário (caso não degenerado mais provável): 2

Exercícios relacionados