Seja
. Mostre que a integral
é independente do caminho e calcule-a para
, no sentido horário.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas:
- Mostrar que a integral
é independente do caminho. - Calcular essa integral para a curva
definida por , percorrida no sentido horário.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- As componentes
e estão explicitadas acima. - A curva
é parte da circunferência de centro e raio , com a restrição e orientação horário.
Observação sobre a restrição
: tal condição em
é muito restritiva — o máximo de
na circunferência é
, alcançado apenas no ponto
. Portanto, se o enunciado for literalmente com
, a “curva”
reduz-se ao ponto
(não há arco não trivial). Se for esse o caso, a integral ao longo de
é nula por ser um caminho degenerado de comprimento zero.
Como isso parece ser provavelmente um lapso de digitação (muitos exercícios usam para indicar o semicírculo superior), vou:
Como isso parece ser provavelmente um lapso de digitação (muitos exercícios usam
- primeiro mostrar que o campo é conservativo (portanto integral independente do caminho), e
- depois calcular a integral no caso não trivial mais provável, onde
é o semicírculo superior , percorrido no sentido horário; também citarei o caso degenerado .
Passo 2
Conceito: para verificar se a integral de linha de
é independente do caminho em
, um critério prático é checar se as derivadas parciais mistas coincidem:
em uma região simplesmente conexa onde
está definida. Se isso ocorre e a região for simplesmente conexa, então existe uma potencial
tal que
; daí a integral de linha entre dois pontos depende apenas desses pontos (teorema fundamental para gradientes).
Antes de calcular, verificar domínio: a função
está definida para todo
, logo
é definida em todo
, que é simplesmente conexa. Portanto o critério acima é aplicável.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais mistas explicitamente.
Primeiro
Depois
Portanto
Passo 4
Conclusão do critério: como
em todo
(região simplesmente conexa), o campo
é conservativo. Logo a integral de linha
é independente do caminho: depende apenas dos pontos inicial e final.
Explicação didática rápida: ser conservativo significa que existe uma função escalar
tal que
. A integral de linha de um gradiente entre dois pontos
e
é simplesmente
. Essa é a ferramenta que vamos usar para calcular a integral de forma rápida e sem parametrizar o arco.
Passo 5
Encontrar a função potencial
tal que
Integramos
em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 6
Determinar
impondo que
.
Calcular
a partir da expressão encontrada:
Comparando com
obtemos
Assim
Vamos calcular
passo a passo (integração por partes).
Escolha para integrar por partes:
-
. -
.
Então
Reescrevendo o integrando
logo
Somando,
Portanto podemos escolher
(absorvendo constantes em
).
Passo 7
Escrever a potencial completa
. Juntando os resultados,
Podemos tomar
sem perda de generalidade, pois a integral de linha usa diferença de valores de
.
Interpretação prática: para qualquer caminho
que vá de um ponto
até um ponto
,
Passo 8
Agora avaliar a integral para a curva
dada.
Primeiro, tratar do caso literal fornecido no enunciado:
.
- Como observado no Passo 1, essa condição só é satisfeita no ponto
. Assim é um caminho degenerado (um ponto) e a integral ao longo de um caminho de comprimento zero é
Segundo, tratar o caso provavelmente pretendido (semicírculo superior): supondo que a intenção era
, então
é o semicírculo superior da circunferência de centro
e raio
. Os pontos extremos desse arco são:
- ponto esquerdo
, - ponto direito
.
Precisamos tomar cuidado com a orientação: o enunciado pede sentido horário. Para a circunferência com centro
, o sentido horário percorre o semicírculo superior de
até
(subindo à esquerda, passando por
, descendo à direita). Logo o ponto inicial é
e o final é
. Portanto, pela independência do caminho,
Passo 9
Avaliar
nos pontos necessários (usar a expressão do Passo 7 com
).
Calculando
:
Calculando
:
Portanto, no caso do semicírculo superior percorrido no sentido horário,
Resposta
Se a condição
for tomada literalmente (então
reduz-se ao ponto
):
Se o que se pretendia era o semicírculo superior
percorrido no sentido horário (caso não degenerado mais provável):