Encontre um fator integrante e resolva a equação dada.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial:
O objetivo é encontrar um fator integrante que nos ajude a resolver essa equação. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes, que são ferramentas usadas para simplificar e resolver equações diferenciais que não são diretamente solucionáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
Comparando com a nossa equação:
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 3
Para encontrar o fator integrante, assumimos que ele depende apenas de
ou apenas de
. Vamos tentar um fator que depende apenas de
, ou seja,
.
O fator integrante
deve satisfazer a seguinte condição:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Esta é uma equação diferencial linear simples. A solução geral para
é:
Podemos escolher
para simplificar, então:
Passo 4
Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando os termos:
Agora, verificamos se a equação é exata. Calculamos novamente as derivadas parciais:
Como
, precisamos ajustar nosso fator integrante. Parece que assumimos que
depende apenas de
, mas neste caso, precisamos reconsiderar e assumir que
depende de
.
Vamos tentar
:
A condição para
é:
Substituindo:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 2:
Esta é uma equação diferencial que sugere que
depende tanto de
quanto de
, tornando a solução mais complexa. Nesse caso, percebemos que a abordagem inicial pode não ser a mais adequada. Vamos utilizar outro método para encontrar o fator integrante.
Passo 5
Vamos considerar que o fator integrante
seja da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Multiplicando a equação original por
:
Simplificando:
Queremos que a equação resultante seja exata, ou seja:
Calculando as derivadas:
Para que a equação seja exata, devemos ter:
Isso só é possível se
, ou seja,
.
Portanto, o fator integrante é:
Resposta
Multiplicando a equação original pelo fator integrante
e resolvendo, obtemos a solução geral da equação diferencial:
Integrando:
Dividindo ambos os lados por
:
Onde
é a constante de integração.