Encontre um fator integrante e resolva a equação dada.
2 d x-e^y-x d y=0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial:
2,dx - e^y - x,dy = 0
O objetivo é encontrar um fator integrante que nos ajude a resolver essa equação. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes, que são ferramentas usadas para simplificar e resolver equações diferenciais que não são diretamente solucionáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
M(x, y),dx + N(x, y),dy = 0
Comparando com a nossa equação:
M(x, y) = 2
N(x, y) = -e^y - x
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de partial Mpartial y = 0 em relação a partial Npartial x = e^y - x e de em relação a :
Como , a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 3

Para encontrar o fator integrante, assumimos que ele depende apenas de dmudx cdot N - mu cdot partial Npartial x = mu cdot partial Mpartial y ou apenas de dmudx cdot (-e^y - x) - mu cdot e^y - x = mu cdot 0. Vamos tentar um fator que depende apenas de -e^y - x dmudx - mu e^y - x = 0, ou seja, dmudx + mu = 0.
O fator integrante mu(x) = Ce^-x deve satisfazer a seguinte condição:
mu(x) = e^-x
Substituindo e :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Esta é uma equação diferencial linear simples. A solução geral para é:
Podemos escolher para simplificar, então:

Passo 4

Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante e^-x cdot 2,dx - e^-x cdot e^y - x,dy = 0:
2e^-x,dx - e^y - 2x,dy = 0
Simplificando os termos:
M = 2e^-x
Agora, verificamos se a equação é exata. Calculamos novamente as derivadas parciais:
N = -e^y - 2x
partial Mpartial y = 0
partial Npartial x = 2e^y - 2x
dmudy cdot M - mu cdot partial Mpartial y = mu cdot partial Npartial x
Como dmudy cdot 2 - mu cdot 0 = mu cdot 2e^y - 2x, precisamos ajustar nosso fator integrante. Parece que assumimos que 2dmudy = 2mu e^y - 2x depende apenas de dmudy = mu e^y - 2x, mas neste caso, precisamos reconsiderar e assumir que depende de .
Vamos tentar :
A condição para é:
Substituindo:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 2:
Esta é uma equação diferencial que sugere que depende tanto de quanto de , tornando a solução mais complexa. Nesse caso, percebemos que a abordagem inicial pode não ser a mais adequada. Vamos utilizar outro método para encontrar o fator integrante.

Passo 5

Vamos considerar que o fator integrante 2e^kx,dx - e^kx e^y - x,dy = 0 seja da forma 2e^kx,dx - e^y + (k-1)x,dy = 0, onde partialpartial y(2e^kx) = partialpartial x(-e^y + (k-1)x) é uma constante a ser determinada.
Multiplicando a equação original por partialpartial y(2e^kx) = 0:
partialpartial x(-e^y + (k-1)x) = -(k-1)e^y + (k-1)x
Simplificando:
0 = -(k-1)e^y + (k-1)x
Queremos que a equação resultante seja exata, ou seja:
mu = e^x
Calculando as derivadas:
Para que a equação seja exata, devemos ter:
Isso só é possível se , ou seja, .
Portanto, o fator integrante é:

Resposta

Multiplicando a equação original pelo fator integrante e^xy = integral 2e^x,dx + C e resolvendo, obtemos a solução geral da equação diferencial:
e^xy = 2e^x + C
Integrando:
y = 2 + Ce^-x
Dividindo ambos os lados por :
Onde é a constante de integração.

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