Mostrar que a função dada é um fator integrante e resolver:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial não exata
e pede pra mostrar que o fator integrante depende só de
e é
, e então resolver a equação exata resultante.
Passo 2
Para checar que
é fator integrante que depende só de
, escrevemos a equação na forma
com
Calculamos
e
Isso deve ser igual a
. Logo
cuja solução é
.
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
e obtemos
Chamando
checamos que
são iguais, então a equação é exata.
Passo 4
Agora buscamos uma função potencial
tal que
Integrando em relação a
:
Depois comparamos com
e impomos que seja igual a
, o que dá
e, portanto,
.
Passo 5
A solução geral vem da condição
, ou seja:
Resposta
e^{2x}\cos(\pi y)=C