Mostrar que a função dada é um fator integrante e resolver:
2 cos (pi y) d x=pi sen(pi y) d y, F(x)=e^2 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não exata
2cos(pi y),dx=pisin(pi y),dy
e pede pra mostrar que o fator integrante depende só de x e é F(x)=e^2x, e então resolver a equação exata resultante.

Passo 2

Para checar que F(x)=e^2x é fator integrante que depende só de x, escrevemos a equação na forma
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0,
com
M=2cos(pi y),
N=-pisin(pi y)
Calculamos
partial Mpartial y-partial Npartial x=-2pisin(pi y)-0=-2pisin(pi y)
e
partial M/partial y-partial N/partial xN=-2pisin(pi y)-pisin(pi y)=2
Isso deve ser igual a mu'(x)/mu(x). Logo
mu'(x)mu(x)=2
cuja solução é mu(x)=e^2x.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por e^2x e obtemos
2e^2xcos(pi y),dx-pi e^2xsin(pi y),dy=0
Chamando
M^*=2e^2xcos(pi y),
N^*=-pi e^2xsin(pi y),
checamos que
partial M^*partial y=-2pi e^2xsin(pi y),
partial N^*partial x=-2pi e^2xsin(pi y),
são iguais, então a equação é exata.

Passo 4

Agora buscamos uma função potencial phi(x,y) tal que
partialphipartial x=M^*=2e^2xcos(pi y)
Integrando em relação a x:
phi(x,y)=integral2e^2xcos(pi y),dx=e^2xcos(pi y)+h(y)
Depois comparamos com
partialphipartial y=-pi e^2xsin(pi y)+h'(y)
e impomos que seja igual a N^*=-pi e^2xsin(pi y), o que dá h'(y)=0 e, portanto, h(y)=constante.

Passo 5

A solução geral vem da condição phi(x,y)=C, ou seja:

Resposta

e^{2x}\cos(\pi y)=C

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