Encontre uma fatoração P^{1} L U da matriz A dada.
23. A=\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 4 \\\\ -1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 3 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre uma fatoração P^{1} L U da matriz A dada.
As informações fornecidas são:
A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 4\\\\ -1 & 2 & 1\\\\ 1 & 3 & 3\end{pmatrix}.
Precisamos produzir uma matriz de permutação P, uma matriz triangular inferior L com diagonal principal igual a 1 e uma matriz triangular superior U tais que
P\,A = L\,U.
Não vou resolver nada ainda aqui — só listei o que é pedido e os dados do problema.

Passo 2

Por que precisamos de P? Porque o primeiro elemento da primeira linha de A é 0 (ou seja, A_{11}=0), e para fazer a eliminação de Gauss na primeira coluna precisamos de um pivô não nulo em posição (1,1). Então trocamos a primeira linha com uma linha que possua um elemento não nulo na coluna 1. Vou trocar a linha 1 com a linha 3 (poderia ser com a 2, mas escolhi a 3).
A matriz de permutação que realiza essa troca (linha 1 ↔ linha 3) é
P=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Multiplicando P por A (ou seja, aplicando a troca de linhas) obtenho
P A = \begin{pmatrix}1 & 3 & 3\\[4pt] -1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 4\end{pmatrix}.
Vou trabalhar com P A para realizar a eliminação e extrair L e U.]

Passo 3

Primeiro passo da eliminação: pivô na posição (1,1) de P A é 1. Para zerar as entradas abaixo do pivô na primeira coluna calculo os multiplicadores:
\ell_{21}=\frac{(P A)_{21}}{(P A)_{11}}=\frac{-1}{1}=-1,\qquad \ell_{31}=\frac{(P A)_{31}}{(P A)_{11}}=\frac{0}{1}=0.
Esses \ell_{i1} serão os elementos da coluna 1 de L abaixo da diagonal.
Agora aplico as operações nas linhas:
  • Linha 2 ← Linha 2 − \ell_{21}·Linha 1 = Linha 2 − (−1)·Linha 1 = Linha 2 + Linha 1,
  • Linha 3 ← Linha 3 − \ell_{31}·Linha 1 = Linha 3 − 0·Linha 1 = Linha 3 (permanece).
Calculando:
Linha 1: (1,\;3,\;3) (fica igual)
Linha 2: (-1,\;2,\;1) + (1,\;3,\;3) = (0,\;5,\;4)
Linha 3: (0,\;1,\;4)
Após essa etapa a matriz atual (forma de U parcial) é
\begin{pmatrix}1 & 3 & 3\\[4pt] 0 & 5 & 4\\[4pt] 0 & 1 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Segundo passo da eliminação: agora o pivô na posição (2,2) é 5, que é não nulo. Não preciso permutar linhas aqui porque entre as linhas 2 e 3 o maior valor absoluto na coluna 2 é 5, então continuo sem novas permutações.
Calculo o multiplicador para zerar a entrada abaixo do pivô na coluna 2:
\ell_{32}=\frac{\text{entrada }(3,2)}{\text{pivô }(2,2)}=\frac{1}{5}=\frac{1}{5}.ô
Esse será o elemento L_{32}.
Aplico a eliminação na linha 3:
Linha 3 ← Linha 3 − \ell_{32}·Linha 2.
Calculando:
Linha 2: (0,\;5,\;4)
Linha 3 antes: (0,\;1,\;4)
Linha 3 depois: (0,\;1,\;4) - \tfrac{1}{5}\,(0,\;5,\;4) = (0,\;1-1,\;4-\tfrac{4}{5}) = \bigl(0,\;0,\;\tfrac{16}{5}\bigr).
Agora a matriz U final (triangular superior) é
U=\begin{pmatrix}1 & 3 & 3\\[4pt] 0 & 5 & 4\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{16}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora construo a matriz L. Por construção, L tem diagonal principal formada por uns e seus elementos abaixo da diagonal são os multiplicadores que usei nas eliminações, na ordem em que foram aplicados sobre P A:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1 & 0\\[4pt] \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{5} & 1 \end{pmatrix}.
Recapitulando:
\ell_{21}=-1, \ell_{31}=0, \ell_{32}=\tfrac{1}{5}.]

Passo 6

Cheque rápido (opcional para a prova): multiplicando L U deve dar P A. Se alguém pedir a verificação, basta multiplicar as matrizes L e U que calculamos e verificar que o produto é
L U = \begin{pmatrix}1 & 3 & 3\\[4pt] -1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 4\end{pmatrix} = P A,
o que confirma que a fatoração está correta.]

Resposta

P=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\end{pmatrix}
L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{5} & 1\end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix}1 & 3 & 3\\[4pt] 0 & 5 & 4\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{16}{5}\end{pmatrix}]

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