Precisamos produzir uma matriz de permutação P, uma matriz triangular inferior L com diagonal principal igual a 1 e uma matriz triangular superior U tais que
P\,A = L\,U.
Não vou resolver nada ainda aqui — só listei o que é pedido e os dados do problema.
Passo 2
Por que precisamos de P? Porque o primeiro elemento da primeira linha de A é 0 (ou seja, A_{11}=0), e para fazer a eliminação de Gauss na primeira coluna precisamos de um pivô não nulo em posição (1,1). Então trocamos a primeira linha com uma linha que possua um elemento não nulo na coluna 1. Vou trocar a linha 1 com a linha 3 (poderia ser com a 2, mas escolhi a 3).
A matriz de permutação que realiza essa troca (linha 1 ↔ linha 3) é
Segundo passo da eliminação: agora o pivô na posição (2,2) é 5, que é não nulo. Não preciso permutar linhas aqui porque entre as linhas 2 e 3 o maior valor absoluto na coluna 2 é 5, então continuo sem novas permutações.
Calculo o multiplicador para zerar a entrada abaixo do pivô na coluna 2:
Agora construo a matriz L. Por construção, L tem diagonal principal formada por uns e seus elementos abaixo da diagonal são os multiplicadores que usei nas eliminações, na ordem em que foram aplicados sobre P A:
Cheque rápido (opcional para a prova): multiplicando L U deve dar P A. Se alguém pedir a verificação, basta multiplicar as matrizes L e U que calculamos e verificar que o produto é
L U = \begin{pmatrix}1 & 3 & 3\\[4pt] -1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 4\end{pmatrix} = P A,