Encontre uma fatoração P^{1} L U da matriz A dada.
24. A=\left[\begin{array}{rrrr}0 & 0 & 1 & 2 \\\\ -1 & 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & -1 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma fatoração do tipo P\,L\,U da matriz A dada. Ou seja, encontrar matrizes \,P (permutação), \,L (triangular inferior com 1’s na diagonal) e \,U (triangular superior) tais que
•A fatoração pedida envolve uma matriz de permutação P (possivelmente necessária para evitar pivôs zero).
•Temos de produzir P,\;L,\;U explícitas.
Passo 2
Estratégia prática (sem pular etapas): vamos realizar eliminação de Gauss com pivotamento por linhas (partial pivoting). Sempre que trocarmos linhas precisamos registrar essa permutação em P. Enquanto eliminamos, guardamos os multiplicadores para montar L. Vou fazer passo a passo cada operação elementar e explicar o porquê:
Procuramos um pivô na coluna 1 entre as linhas 1…4; se o elemento da posição atual for zero ou pequeno, trocamos com uma linha que tenha maior valor absoluto nessa coluna.
Após escolher o pivô, usamos multiplicadores m_{i1}=a_{i1}/a_{11} para zerar abaixo do pivô, e esses m_{i1} serão os elementos L_{i1}.
Começamos olhando a coluna 1 de A: entradas [0,\,-1,\,0,\,1]. O maior módulo é 1, que aparece nas linhas 2 e 4; vou escolher a linha 4 como pivô (isso é uma escolha válida). Logo trocamos a linha 1 com a linha 4.
Aplico a troca R_1 \leftrightarrow R_4. Isso corresponde a uma permutação — vou anotar ao final a matriz P resultante de tal troca.
Os multiplicadores da primeira coluna serão as entradas L_{21}=-1,\;L_{31}=0,\;L_{41}=0.]
Passo 4
Passamos agora ao bloco submatricial nas linhas/colunas 2 a 4. Olhando a coluna 2 (nas linhas 2…4) temos os valores [2,2,0]. O maior em módulo é 2 (já na linha 2), portanto não precisamos trocar linhas aqui: pivotamos com a_{22}=2.
Calculamos os multiplicadores para zerar abaixo do pivô na coluna 2:
Os multiplicadores da segunda coluna (na ordem das linhas) são L_{32}=1,\;L_{42}=0.]
Passo 5
Agora olhamos a coluna 3 nas linhas 3 e 4: [-1,\,1]. O maior em módulo é 1 — o pivô a_{33}=-1 já é não nulo, portanto não precisamos trocar linhas. Tomamos a_{33}=-1 como pivô.
Agora montamos L com os multiplicadores obtidos, lembrando que L é triangular inferior com 1's na diagonal. Importante: os multiplicadores que registramos foram relativos à matriz já permutada (após a troca inicial R_1\leftrightarrow R_4), então L deve ser escrita na mesma ordem de linhas de PA. Colocando-os na posição correspondente:
Da coluna 1: L_{21}=-1,\;L_{31}=0,\;L_{41}=0.
Da coluna 2: L_{32}=1,\;L_{42}=0.
Da coluna 3: L_{43}=-1.
Precisamos também escrever a matriz de permutação P que representa a troca inicial R_1\leftrightarrow R_4. A permutação que move a linha 4 para a posição 1 e a linha 1 para a posição 4 é
Checagem rápida (importante para prova): multiplique L U e verifique que é igual a P A. Fizemos isso durante o processo (cada linha de L U correspondeu à linha apropriada de P A), então a fatoração está consistente.]