Encontre uma fatoração L U da matriz dada.
9. \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 8 & 7 & 9\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre uma fatoração L U da matriz dada.” A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 4 & 5 & 6 \\[4pt] 8 & 7 & 9\end{pmatrix}.
Informações relevantes que temos: a matriz A é 3\times3 e precisamos escrevê‑la como produto de uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U. Não há outras informações (por exemplo, permutações) no enunciado.]

Passo 2

Escolhemos usar o método de eliminação (esquema de Doolittle) para construir L e U. Breve explicação do método (passo a passo):
  • Em Doolittle assumimos que L tem diagonais iguais a 1 (ou seja, L é unit‑lower‑triangular) e U é upper‑triangular.
  • Fazemos eliminação gaussiana em A para obter U. Os multiplicadores usados para zerar elementos abaixo dos pivôs viram as entradas abaixo da diagonal em L.
  • Formalmente, ao usar o pivô u_{kk} para zerar a_{ik} ( i>k), o multiplicador é l_{ik}=\dfrac{a_{ik}^{(k-1)}}{u_{kk}}, onde a_{ik}^{(k-1)} é o elemento atual antes da eliminação na etapa k.
Agora aplicamos isso à nossa matriz. Vou mostrar cada multiplicador e a atualização das linhas.

Passo 3

Primeiro pivô é u_{11}=1 (o elemento \,a_{11}\, de A). Para zerar as entradas abaixo desse pivô calculamos os multiplicadores:
l_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{4}{1}=4,\qquad l_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{8}{1}=8.
Usamos esses multiplicadores para atualizar as linhas 2 e 3:
  • Linha 2 nova = Linha 2 antiga -\,l_{21}\times Linha 1:
(4,5,6)-4\cdot(1,2,3)=(4-4,\;5-8,\;6-12)=(0,\,-3,\,-6).
  • Linha 3 nova = Linha 3 antiga -\,l_{31}\times Linha 1:
(8,7,9)-8\cdot(1,2,3)=(8-8,\;7-16,\;9-24)=(0,\,-9,\,-15).

Passo 4

A matriz após a primeira etapa de eliminação (ou seja, depois de zerar a coluna 1 abaixo do pivô) é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & -3 & -6\\[4pt] 0 & -9 & -15 \end{pmatrix}.
Os multiplicadores obtidos até agora ( l_{21}=4,\;l_{31}=8) serão as entradas (2,1) e (3,1) de L.]

Passo 5

Agora o pivô da segunda etapa é u_{22}=-3 (o elemento na posição (2,2) da matriz atual). Para zerar a entrada (3,2) calculamos o multiplicador
l_{32}=\frac{a_{32}^{(1)}}{u_{22}}=\frac{-9}{-3}=3.
Aplicamos a eliminação na linha 3: Linha 3 nova = Linha 3 antiga -\,l_{32}\times Linha 2:
(0,-9,-15)-3\cdot(0,-3,-6)=(0,-9+9,-15+18)=(0,0,3).

Passo 6

Depois da segunda etapa de eliminação obtemos uma matriz triangular superior (esta será U):
U=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & -3 & -6\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
As entradas de L são l_{21}=4, l_{31}=8 e l_{32}=3, com 1’s na diagonal, logo
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 4 & 1 & 0\\[4pt] 8 & 3 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (mostrar que L U = A) — multiplicamos L por U usando combinação linear das linhas de U:
  • Primeira linha de L U: 1\cdot (linha 1 de U) =(1,2,3).
  • Segunda linha de L U: 4\cdot (linha 1 de U) +\;1\cdot (linha 2 de U) =4(1,2,3)+(0,-3,-6)=(4,8,12)+(0,-3,-6)=(4,5,6).
  • Terceira linha de L U: 8\cdot (linha 1 de U) +\;3\cdot (linha 2 de U) +\;1\cdot (linha 3 de U) =8(1,2,3)+3(0,-3,-6)+(0,0,3)=(8,16,24)+(0,-9,-18)+(0,0,3)=(8,7,9).
Como as linhas coincidem com as de A, a fatoração está correta.

Resposta

L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 4 & 1 & 0\\[4pt] 8 & 3 & 1 \end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & -3 & -6\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}]

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