Informações relevantes que temos: a matriz A é 3\times3 e precisamos escrevê‑la como produto de uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U. Não há outras informações (por exemplo, permutações) no enunciado.]
Passo 2
Escolhemos usar o método de eliminação (esquema de Doolittle) para construir L e U. Breve explicação do método (passo a passo):
Em Doolittle assumimos que L tem diagonais iguais a 1 (ou seja, L é unit‑lower‑triangular) e U é upper‑triangular.
Fazemos eliminação gaussiana em A para obter U. Os multiplicadores usados para zerar elementos abaixo dos pivôs viram as entradas abaixo da diagonal em L.
Formalmente, ao usar o pivô u_{kk} para zerar a_{ik} (i>k), o multiplicador é l_{ik}=\dfrac{a_{ik}^{(k-1)}}{u_{kk}}, onde a_{ik}^{(k-1)} é o elemento atual antes da eliminação na etapa k.
Agora aplicamos isso à nossa matriz. Vou mostrar cada multiplicador e a atualização das linhas.
Passo 3
Primeiro pivô é u_{11}=1 (o elemento \,a_{11}\, de A). Para zerar as entradas abaixo desse pivô calculamos os multiplicadores:
Verificação rápida (mostrar que L U = A) — multiplicamos L por U usando combinação linear das linhas de U:
Primeira linha de L U: 1\cdot (linha 1 de U) =(1,2,3).
Segunda linha de L U: 4\cdot (linha 1 de U) +\;1\cdot (linha 2 de U) =4(1,2,3)+(0,-3,-6)=(4,8,12)+(0,-3,-6)=(4,5,6).
Terceira linha de L U: 8\cdot (linha 1 de U) +\;3\cdot (linha 2 de U) +\;1\cdot (linha 3 de U) =8(1,2,3)+3(0,-3,-6)+(0,0,3)=(8,16,24)+(0,-9,-18)+(0,0,3)=(8,7,9).
Como as linhas coincidem com as de A, a fatoração está correta.