Encontre uma fatoração P^{1} L U da matriz A dada.
25. A=\left[\begin{array}{rrrr}0 & -1 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma fatoração P^{1}LU da matriz A. Ou seja, queremos uma matriz de permutação P, uma triangular inferior L com diagonal unitária e uma triangular superior U tais que
P A = L U.
A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 & 3\\[4pt] -1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes do enunciado:
  • Precisamos produzir P, L e U tal que P A = L U.
  • Devemos efetuar eliminação (com permutações se necessário) e registrar os multiplicadores em L.
  • Se houver troca de linhas durante a eliminação, a matriz P deve refletir essas trocas e as linhas já computadas de L devem ser ajustadas conforme a técnica padrão (trocam-se as linhas de L referentes às colunas já calculadas).]

Passo 2

Explicação do método que vamos usar (passo pedagógico):
  • Para fatorar com pivoteamento parcial, aplicamos eliminação de Gauss sobre A, mas quando o pivô na posição k,k for zero (ou muito pequeno) trocamos a linha k com alguma linha abaixo que tenha maior valor absoluto nessa coluna. Cada troca de linhas corresponde a multiplicar A por uma matriz de permutação P.
  • Em cada etapa, o multiplicador usado para zerar a entrada a_{ik} (com i>k) é
m_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}}.
Esse multiplicador é armazenado em L na posição (i,k). A convenção é que L tem diagonal com uns: L_{kk}=1.
  • Quando trocamos linhas em U no passo k, devemos também trocar as mesmas linhas em P (registrando a permutação) e, para manter consistência, trocar as linhas correspondentes em L nas colunas 1,2,\dots,k-1 (essas colunas já foram calculadas).
Agora aplicamos o procedimento passo a passo à matriz dada.

Passo 3

Primeira coluna (pivô na coluna 1):
  • Olhando a coluna 1 de A (entradas \,0,\,-1,\,0,\,0), o maior valor absoluto é 1 na linha 2. Como o elemento na posição (1,1) é 0, trocamos a linha 1 com a linha 2 para obter um pivô não nulo.
  • A troca de linhas resulta numa permutação parcial; chamamos essa permutação parcial P_1. Aplicando-a a A obtemos a matriz inicial para eliminação:
U^{(1)}=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},
que corresponde a ter permutado as linhas para a ordem (2,1,3,4) da matriz original.
  • Agora usamos o pivô u_{11}=-1. Os multiplicadores para zerar abaixo do pivô (coluna 1) são
m_{21}=\frac{u^{(1)}_{21}}{u^{(1)}_{11}}=\frac{0}{-1}=0,\qquad m_{31}=\frac{0}{-1}=0,\qquad m_{41}=\frac{0}{-1}=0.
  • Esses multiplicadores entram em L nas posições (2,1),(3,1),(4,1). Como todos são zero, a primeira coluna de L (abaixo da diagonal) é nula.]

Passo 4

Segunda coluna (pivô na posição (2,2)):
  • Consideramos agora a submatriz das linhas 2 a 4 e colunas 2 a 4. O elemento atual na posição (2,2) é -1. Seus módulos nas linhas 2…4 na coluna 2 são |-1|,|1|,|0| (linhas 2,3,4 respectivamente). Podemos manter a linha 2 como pivô (não é necessário trocar já que há um pivô não nulo).
  • Usando pivô u^{(1)}_{22}=-1, calculamos multiplicadores para zerar abaixo na coluna 2:
m_{32}=\frac{u^{(1)}_{32}}{u^{(1)}_{22}}=\frac{1}{-1}=-1,\qquad m_{42}=\frac{0}{-1}=0.
  • Aplicamos a eliminação: atualizamos a linha 3 pela combinação \text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - m_{32}\cdot\text{linha}_2. Como m_{32}=-1, isso equivale a \text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 + \text{linha}_2.
  • Calculando a nova linha 3:
(0,1,-1,1) + (0,-1,1,3) = (0,0,0,4).
  • A linha 4 permanece inalterada (já que m_{42}=0). Assim obtemos a matriz após a eliminação da segunda coluna:
U^{(2)}=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
  • Registramos m_{32}=-1 em L_{32} e m_{42}=0 em L_{42}.]

Passo 5

Terceira coluna (pivô na posição (3,3) e necessidade de permutar):
  • Agora na coluna 3, entre as linhas 3 e 4, as entradas são 0 (linha 3) e 1 (linha 4). Como o elemento na posição (3,3) é 0, devemos trocar a linha 3 com a linha 4 para obter um pivô não nulo. Essa é uma segunda troca de linhas (então, no total, as linhas foram permutadas para a ordem (2,1,4,3)).
  • Ao trocar linhas 3 e 4 em U^{(2)} obtemos
U^{(3)}=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
  • Importante: quando trocamos as linhas 3 e 4 no passo k=3, devemos também trocar as mesmas linhas de L nas colunas 1 e 2 (as colunas já calculadas). Antes da troca em L tínhamos os multiplicadores (coluna 1 todos 0, coluna 2 com L_{32}=-1, L_{42}=0). Trocando as linhas 3 e 4 nas colunas 1 e 2 obtemos que a entrada -1 que estava em L_{32} passa para a posição correspondente da nova linha 4 (ou seja, para L_{42} na nova ordenação). Esse ajuste garante consistência de L com as permutações aplicadas em U.
  • Depois da troca, o pivô em (3,3) vale 1. O multiplicador para zerar abaixo é
m_{43}=\frac{u^{(3)}_{43}}{u^{(3)}_{33}}=\frac{0}{1}=0.
  • Registramos m_{43}=0 em L_{43}. Não há mais eliminações a fazer (abaixo do pivô já são zeros).]

Passo 6

Construção final das matrizes P, L e U e verificação rápida:
  • A permutação final aplicada às linhas (comparando com a ordem original) leva as linhas originais na ordem (1,2,3,4) para a ordem (2,1,4,3). Portanto a matriz de permutação P é a matriz que faz essa troca; explicitamente:
P=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
  • A matriz U final obtida é
U=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
  • A matriz L (triangular inferior com diagonal unitária) deve conter os multiplicadores usados nas eliminações, já ajustada pelas permutações realizadas. Seguindo os passos e realizando a troca das linhas de L nas colunas já calculadas quando trocamos linhas em U, obtemos
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • Uma verificação mental rápida: multiplicando L U linha a linha (com a ordem de linhas de L correspondendo às linhas permutadas de A) reproduz exatamente P A. Assim temos a fatoração com pivoteamento.]

Resposta

P=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}]

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