Encontre uma fatoração L U da matriz dada.
7. \left[\begin{array}{rr}1 & 2 \\\\ -3 & -1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma fatoração L U da matriz dada. Ou seja, queremos duas matrizes L (lower, triangular inferior) e U (upper, triangular superior) tais que A = L U.\n
A matriz fornecida é
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] -3 & -1\end{pmatrix}.
As informações relevantes são os quatro elementos de A: a_{11}=1, a_{12}=2, a_{21}=-3, a_{22}=-1. O objetivo final é dar explicitamente L e U.]
Passo 2
Ideia geral (passo-a-passo do método que vamos aplicar, sem cálculos ainda): vamos usar a decomposição do tipo Doolittle, onde escolhemos L com uns na diagonal principal e U triangular superior. Assim as formas são
Multiplicando L U e igualando com A obtemos equações que permitem resolver l_{21},u_{11},u_{12},u_{22}. Esse método corresponde a aplicar eliminação de Gauss na coluna 1 e guardar o multiplicador em l_{21}.]
Passo 3
Primeiro, anoto os elementos de A para usar nas fórmulas:
O multiplicador (entrada de L) usado para zerar o elemento abaixo do pivô na coluna 1 é
l_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{-3}{1}=-3.
Explicação curta: esse l_{21} é o número que usamos para combinar a primeira linha com a segunda para eliminar o termo -3 na posição (2,1). Em eliminação, fazemos R_2 \leftarrow R_2 - l_{21}R_1.
Passo 5
Os elementos da primeira linha de U são iguais aos da primeira linha de A, pois não modificamos a primeira linha ao iniciar a eliminação. Assim
u_{11}=a_{11}=1,\qquad u_{12}=a_{12}=2.
Explicação: U guarda a forma triangular superior resultante depois de eliminar.
Passo 6
Agora determinamos u_{22}. Pela igualdade A = L U, a entrada (2,2) de A satisfaz
a_{22} = l_{21}\,u_{12} + 1\cdot u_{22}.
Isolando u_{22} obtemos
u_{22} = a_{22} - l_{21}\,u_{12}.
Substituindo os valores:
u_{22} = -1 - (-3)\cdot 2 = -1 + 6 = 5.
Comentário: essa fórmula vem da multiplicação das matrizes L e U e igualação termo a termo.
Passo 7
Resumo dos valores encontrados (ainda sem escrever as matrizes completas, só os elementos):
Podemos checar rapidamente que, usando esses números, a eliminação transforma a segunda linha em (0,5): R_2 - l_{21}R_1 = (-3,-1) - (-3)\cdot(1,2) = (0,5).
Passo 8
Verificação rápida por multiplicação de entradas (mostrando que os números batem com A): multiplicando as entradas relevantes temos para a segunda linha e segunda coluna
que coincide com a_{22}. As outras entradas também conferem (1 e 2 na primeira linha e -3 na entrada (2,1) pela combinação), então a fatoração está correta.