Resolva o sistema A \mathbf{x}=\mathbf{b} usando a fatoração LU de A dada.
4. A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -4 & 0 \\\\ 3 & -1 & 4 \\\\ -1 & 2 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\ \frac{3}{2} & 1 & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & 0 & 1\end{array}\right]
\times\left[\begin{array}{rrr} 2 & -4 & 0 \\\\ 0 & 5 & 4 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right], \mathbf{b}=\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 0 \\\\ -5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} usando a fatoração A=LU que foi dada. Dados fornecidos:
A=\begin{pmatrix}2 & -4 & 0 \\[4pt] 3 & -1 & 4 \\[4pt] -1 & 2 & 2\end{pmatrix}, \quad L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] \dfrac{3}{2} & 1 & 0 \\[4pt] -\dfrac{1}{2} & 0 & 1\end{pmatrix}, \quad U=\begin{pmatrix}2 & -4 & 0 \\[4pt] 0 & 5 & 4 \\[4pt] 0 & 0 & 2\end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}2 \\[4pt] 0 \\[4pt] -5\end{pmatrix}.
As perguntas implícitas: encontrar o vetor \mathbf{x} que satisfaz A\mathbf{x}=\mathbf{b}.]

Passo 2

Estratégia (breve e prática): como A=LU, resolvemos primeiro o sistema triangular inferior
L\mathbf{y}=\mathbf{b}
por substituição direta (forward substitution) para encontrar \mathbf{y}, e depois resolvemos o sistema triangular superior
U\mathbf{x}=\mathbf{y}
por retro-substituição (back substitution) para obter \mathbf{x}.
Explicando os métodos em termos simples:
  • Forward substitution em uma matriz triangular inferior com diagonal formada por 1 (como aqui) usa as equações linha a linha: a primeira equação dá \(y_1) diretamente; a segunda dá \(y_2) em termos de \(y_1); a terceira dá \(y_3) em termos de \(y_1,y_2), e assim por diante. Em geral, para uma linha i:
y_i = b_i - \sum_{j=1}^{i-1} L_{ij}y_j,
pois L_{ii}=1.
  • Back substitution em uma matriz triangular superior usa as equações de baixo para cima: a última equação resolve \(x_n) diretamente, a anterior resolve \(x_{n-1}) usando \(x_n), etc. Em geral, para uma linha i (de baixo para cima):
x_i = \frac{1}{U_{ii}}\left(y_i - \sum_{j=i+1}^{n} U_{ij}x_j\right).
Agora aplicamos esses passos numericamente com cuidado para que dê para fazer sem calculadora.

Passo 3

Resolver L\mathbf{y}=\mathbf{b}\) por substituição direta. Escrevendo as equações de \(L\mathbf{y}=\mathbf{b}\): \[\begin{cases} 1\cdot y_1 + 0\cdot y_2 + 0\cdot y_3 = 2,\\[6pt] \dfrac{3}{2}\,y_1 + 1\cdot y_2 + 0\cdot y_3 = 0,\\[6pt] -\dfrac{1}{2}\,y_1 + 0\cdot y_2 + 1\cdot y_3 = -5. \end{cases}
Calculamos passo a passo:
  • Da primeira equação:
y_1 = 2.
  • Da segunda equação:
y_2 = 0 - \dfrac{3}{2}y_1 = -\dfrac{3}{2}\cdot 2 = -3.
Expliquei: subtraímos \dfrac{3}{2}y_1\] do lado direito porque a equação é \(\dfrac{3}{2}y_1 + y_2 = 0.
  • Da terceira equação:
y_3 = -5 -\bigl(-\tfrac{1}{2}y_1\bigr) = -5 + \tfrac{1}{2}y_1.
Substituindo y_1=2:
y_3 = -5 + \tfrac{1}{2}\cdot 2 = -5 + 1 = -4.
Portanto obtivemos
\mathbf{y}=\begin{pmatrix}2 \\[4pt] -3 \\[4pt] -4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora resolvemos U\mathbf{x}=\mathbf{y}\) por retro-substituição. Escrevendo as equações de \(U\mathbf{x}=\mathbf{y}\): \[\begin{cases} 2x_1 - 4x_2 + 0\cdot x_3 = y_1,\\[6pt] 0\cdot x_1 + 5x_2 + 4x_3 = y_2,\\[6pt] 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 2x_3 = y_3. \end{cases}
Começamos da última para a primeira:
  • Da terceira equação:
2x_3 = y_3 \quad\Rightarrow\quad x_3 = \frac{y_3}{2}.
Substituindo (y_3=-4]:
x_3 = \frac{-4}{2} = -2.
  • Da segunda equação:
5x_2 + 4x_3 = y_2 \quad\Rightarrow\quad x_2 = \frac{y_2 - 4x_3}{5}.
Substituindo y_2=-3 e x_3=-2:
x_2 = \frac{-3 - 4(-2)}{5} = \frac{-3 + 8}{5} = \frac{5}{5} = 1.
  • Da primeira equação:
2x_1 - 4x_2 = y_1 \quad\Rightarrow\quad x_1 = \frac{y_1 + 4x_2}{2}.
Substituindo y_1=2 e x_2=1:
x_1 = \frac{2 + 4\cdot 1}{2} = \frac{6}{2} = 3.
Assim
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}3 \\[4pt] 1 \\[4pt] -2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom para ganhar confiança na prova): calculamos A\mathbf{x} para checar se dá \mathbf{b}.
A\mathbf{x}= \begin{pmatrix}2 & -4 & 0 \\[4pt] 3 & -1 & 4 \\[4pt] -1 & 2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 \\[4pt] 1 \\[4pt] -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot 3 + (-4)\cdot 1 + 0\cdot(-2) \\[6pt] 3\cdot 3 + (-1)\cdot 1 + 4\cdot(-2) \\[6pt] -1\cdot 3 + 2\cdot 1 + 2\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\[4pt] 0 \\[4pt] -5\end{pmatrix}=\mathbf{b}.
Ótimo — confere perfeitamente.]

Resposta

\displaystyle \mathbf{x}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix}]

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