As perguntas implícitas: encontrar o vetor \mathbf{x} que satisfaz A\mathbf{x}=\mathbf{b}.]
Passo 2
Estratégia (breve e prática): como A=LU, resolvemos primeiro o sistema triangular inferior
L\mathbf{y}=\mathbf{b}
por substituição direta (forward substitution) para encontrar \mathbf{y}, e depois resolvemos o sistema triangular superior
U\mathbf{x}=\mathbf{y}
por retro-substituição (back substitution) para obter \mathbf{x}.
Explicando os métodos em termos simples:
Forward substitution em uma matriz triangular inferior com diagonal formada por 1 (como aqui) usa as equações linha a linha: a primeira equação dá \(y_1) diretamente; a segunda dá \(y_2) em termos de \(y_1); a terceira dá \(y_3) em termos de \(y_1,y_2), e assim por diante. Em geral, para uma linha i:
y_i = b_i - \sum_{j=1}^{i-1} L_{ij}y_j,
pois L_{ii}=1.
Back substitution em uma matriz triangular superior usa as equações de baixo para cima: a última equação resolve \(x_n) diretamente, a anterior resolve \(x_{n-1}) usando \(x_n), etc. Em geral, para uma linha i (de baixo para cima):