Encontre a fatoração L.U da matriz A=\left[\begin{array}{lll}5 & 2 & 1 \\\\ 3 & 1 & 4 \\\\ 1 & 1 & 3\end{array}\right]. Em seguida, com o auxílio da fatoração L.U, encontre a matriz inversa de A.

Passo 1

O enunciado pede a fatoração LU da matriz
A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\\\ 3 & 1 & 4\\\\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}
e, usando essa fatoração, calcular A^{-1}. O conteúdo usado será a eliminação de Gauss sem pivoteamento (método de Doolittle) para obter matrizes L (unitária) e U (superior), seguido de substituição progressiva e regressiva para achar as colunas de A^{-1}.

Passo 2

Aplicamos Doolittle em A:
  1. Primeiro pivô é a_{11}=5. Calculamos
\ell_{21} = \frac{3}{5},\quad \ell_{31} = \frac{1}{5}.
Eliminando na linha 2:
R_2 \leftarrow R_2 - \frac{3}{5}R_1 \;\Longrightarrow\; (0,\;-{\tfrac{1}{5}},\;{\tfrac{17}{5}}).
Eliminando na linha 3:
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{1}{5}R_1 \;\Longrightarrow\; (0,\;{\tfrac{3}{5}},\;{\tfrac{14}{5}}).
  1. Segundo pivô é o novo u_{22} = -\tfrac{1}{5}. Calculamos
\ell_{32} = \frac{\tfrac{3}{5}}{-\tfrac{1}{5}} = -3.
Eliminando na linha 3:
R_3 \leftarrow R_3 - (-3)\,R_2 \;\Longrightarrow\; (0,\;0,\;13).
Daí obtemos
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ \tfrac{3}{5} & 1 & 0\\\ \tfrac{1}{5} & -3 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\\\ 0 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{17}{5}\\\\ 0 & 0 & 13 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para achar A^{-1}, resolvemos A x = e_i via L y = e_i e depois U x = y. Primeiro, a substituição progressiva em L y = e_i:
  • Para e_1=(1,0,0)^T:
    y_1=1,
    y_2 = 0 - \tfrac{3}{5}y_1 = -\tfrac{3}{5},
    y_3 = 0 - \tfrac{1}{5}y_1 +3\,y_2 = -2.
  • Para e_2=(0,1,0)^T:
    y_1=0,
    y_2 = 1 - \tfrac{3}{5}\cdot0 = 1,
    y_3 = 0 - \tfrac{1}{5}\cdot0 +3\cdot1 = 3.
  • Para e_3=(0,0,1)^T:
    y_1=0,
    y_2 = 0,
    y_3 = 1 - \tfrac{1}{5}\cdot0 +3\cdot0 = 1.

Passo 4

Agora a substituição regressiva em U x = y:
  • Para y^{(1)}=(1,-\tfrac{3}{5},-2)^T:
    13x_3 = -2\implies x_3=-\tfrac{2}{13},
    -\tfrac{1}{5}x_2 +\tfrac{17}{5}x_3 = -\tfrac{3}{5}\implies x_2=\tfrac{5}{13},
    5x_1+2x_2+x_3=1\implies x_1=\tfrac{1}{13}.
  • Para y^{(2)}=(0,1,3)^T:
    13x_3=3\implies x_3=\tfrac{3}{13},
    -\tfrac{1}{5}x_2 +\tfrac{17}{5}x_3 =1\implies x_2=-\tfrac{14}{13},
    5x_1+2x_2+x_3=0\implies x_1=\tfrac{5}{13}.
  • Para y^{(3)}=(0,0,1)^T:
    13x_3=1\implies x_3=\tfrac{1}{13},
    -\tfrac{1}{5}x_2 +\tfrac{17}{5}x_3 =0\implies x_2=\tfrac{17}{13},
    5x_1+2x_2+x_3=0\implies x_1=-\tfrac{7}{13}.

Resposta

A fatoração LU é
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ \tfrac{3}{5} & 1 & 0\\\ \tfrac{1}{5} & -3 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\\\ 0 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{17}{5}\\\\ 0 & 0 & 13 \end{pmatrix}.
A inversa de A é
A^{-1} = \frac{1}{13} \begin{pmatrix} 1 & 5 & -7\\\\ 5 & -14 & 17\\\\ -2 & 3 & 1 \end{pmatrix}.

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