Use o método da eliminação de Gauss com pivoteamento parcial para determinar a solução do sistema A x=b, em que A=\left[\begin{array}{llll}2 & 1 & 1 & 0 \\\\ 4 & 3 & 3 & 1 \\\\ 8 & 7 & 9 & 5 \\\\ 6 & 7 & 9 & 8\end{array}\right] e b=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 4 \\\\ 5\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear A x=b, com
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\[6pt] 4 & 3 & 3 & 1 \\[6pt] 8 & 7 & 9 & 5 \\[6pt] 6 & 7 & 9 & 8 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 4\\\ 5\end{pmatrix},
e pede a solução por eliminação de Gauss com pivoteamento parcial.]

Passo 2

Formamos a matriz aumentada e, na primeira coluna, o maior valor absoluto é 8 na linha 3. Trocamos linha 1 com linha 3 e eliminamos abaixo usando \ell_{21}=\tfrac{4}{8}, \ell_{31}=\tfrac{2}{8}, \ell_{41}=\tfrac{6}{8}:
\left[\begin{array}{cccc|c} 8 & 7 & 9 & 5 & 4 \\[3pt] 4 & 3 & 3 & 1 & 2 \\[3pt] 2 & 1 & 1 & 0 & 1 \\[3pt] 6 & 7 & 9 & 8 & 5 \end{array}\right] \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{cccc|c} 8 & 7 & 9 & 5 & 4 \\[3pt] 0 & -\tfrac12 & -\tfrac32 & -\tfrac32 & 0 \\[3pt] 0 & -\tfrac34 & -\tfrac54 & -\tfrac54 & 0 \\[3pt] 0 & \tfrac74 & \tfrac94 & \tfrac{17}{4} & 2 \end{array}\right].]

Passo 3

Na segunda coluna, entre as linhas 2–4 o maior pivô em valor absoluto é \tfrac74 (linha 4), então trocamos linha 2 com linha 4 e eliminamos abaixo com \ell_{32}=\frac{-\tfrac34}{\tfrac74}=-\tfrac{3}{7} e \ell_{42}=\frac{-\tfrac12}{\tfrac74}=-\tfrac{2}{7}:
\left[\begin{array}{cccc|c} 8 & 7 & 9 & 5 & 4 \\[3pt] 0 & \tfrac74 & \tfrac94 & \tfrac{17}{4} & 2 \\[3pt] 0 & 0 & -\tfrac{2}{7} & \tfrac{4}{7} & \tfrac{6}{7} \\[3pt] 0 & 0 & -\tfrac{6}{7} & -\tfrac{2}{7} & \tfrac{4}{7} \end{array}\right].]

Passo 4

Na terceira coluna, entre as linhas 3–4 o maior pivô em valor absoluto é \tfrac{6}{7} (linha 4), então trocamos linha 3 com linha 4 e eliminamos abaixo com \ell_{43}=\frac{-\tfrac{2}{7}}{-\tfrac{6}{7}}=\tfrac13:
\left[\begin{array}{cccc|c} 8 & 7 & 9 & 5 & 4 \\[3pt] 0 & \tfrac74 & \tfrac94 & \tfrac{17}{4} & 2 \\[3pt] 0 & 0 & -\tfrac{6}{7} & -\tfrac{2}{7} & \tfrac{4}{7} \\[3pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{2}{3} \end{array}\right].
Agora temos uma matriz triangular superior.]

Passo 5

Fazemos retro-substituição:
Da última linha, \tfrac{2}{3}x_4 = \tfrac{2}{3} implica x_4=1.
Da terceira linha,
-\tfrac{6}{7}x_3 \;-\;\tfrac{2}{7}x_4 \;=\;\tfrac{4}{7} \;\Longrightarrow\; -\tfrac{6}{7}x_3 - \tfrac{2}{7} = \tfrac{4}{7} \;\Longrightarrow\; -\tfrac{6}{7}x_3 = \tfrac{6}{7} \;\Longrightarrow\; x_3 = -1.
Da segunda linha,
\tfrac{7}{4}x_2 + \tfrac{9}{4}x_3 + \tfrac{17}{4}x_4 = 2 \;\Longrightarrow\; \tfrac{7}{4}x_2 + \tfrac{9}{4}(-1)+\tfrac{17}{4}(1)=2 \;\Longrightarrow\; \tfrac{7}{4}x_2 +2 = 2 \;\Longrightarrow\; x_2 = 0.
Da primeira linha,
8x_1 +7x_2 +9x_3 +5x_4 = 4 \;\Longrightarrow\; 8x_1 +0 +9(-1)+5(1)=4 \;\Longrightarrow\; 8x_1 -4 = 4 \;\Longrightarrow\; x_1 = 1.

Resposta

x = \begin{pmatrix}1 \\[3pt] 0 \\[3pt] -1 \\[3pt] 1\end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados