Resolva o sistema \left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 6 & 4 \\\\ 0 & 4 & 11\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right], utilizando a fatoração \mathbf{L} \cdot \mathbf{U}. Passo 1O enunciado pede para resolver o sistema \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 1 & 6 & 4\\\\ 0 & 4 & 11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\\ x_{2}\\\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\\\ 1\\\\ 1 \end{pmatrix} usando fatoração \mathbf{L}\mathbf{U}. O conteúdo é a fatoração de Doolittle (com L de diagonal unitária e U triangular superior) seguida de substituição direta (para Ly=b) e regressiva (para Ux=y). Passo 2Fazemos \displaystyle A=\mathbf{L}\mathbf{U} com \mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ \ell_{21} & 1 & 0\\\ \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13}\\\\ 0 & u_{22} & u_{23}\\\\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}. Calculamos passo a passo: u_{11}=2,\quad u_{12}=1,\quad u_{13}=0, \ell_{21}=\frac{1}{u_{11}}=\tfrac12,\quad \ell_{31}=\frac{0}{u_{11}}=0, u_{22}=6-\ell_{21}u_{12}=6-\tfrac12\cdot1=\tfrac{11}{2}, u_{23}=4-\ell_{21}u_{13}=4-0=4, \ell_{32}=\frac{4-\ell_{31}u_{12}}{u_{22}}=\frac{4}{11/2}=\frac{8}{11}, u_{33}=11-\ell_{31}u_{13}-\ell_{32}u_{23} =11-\frac{8}{11}\cdot4=\frac{89}{11}. Passo 3Agora resolvemos \mathbf{L}y=b por substituição direta: y_{1}=1, \quad y_{2}=1-\ell_{21}y_{1}=1-\tfrac12= \tfrac12, \quad y_{3}=1-\ell_{31}y_{1}-\ell_{32}y_{2} =1-0-\frac{8}{11}\cdot\frac12 =\frac{7}{11}. Passo 4Em seguida resolvemos \mathbf{U}x=y por substituição regressiva: u_{33}x_{3}=y_{3}\;\Longrightarrow\;x_{3}=\frac{7/11}{89/11}=\frac{7}{89}, u_{22}x_{2}+u_{23}x_{3}=y_{2} \;\Longrightarrow\;\frac{11}{2}x_{2}+4\cdot\frac{7}{89}=\frac12 \;\Longrightarrow\;x_{2}=\frac{3}{89}, 2\,x_{1}+1\cdot x_{2}=1 \;\Longrightarrow\;2x_{1}+\frac{3}{89}=1 \;\Longrightarrow\;x_{1}=\frac{43}{89}. Resposta \begin{pmatrix} x_{1}\\\ x_{2}\\\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{43}{89}\\[6pt] \frac{3}{89}\\[6pt] \frac{7}{89} \end{pmatrix}.] MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEncontre a fatoração L.U da matriz A=\left[\begin{array}{lll}5 & 2 & 1 \\\\ 3 & 1 & 4 \\\\ 1 & 1 & 3\end{array}\right]. Em seguida, com o auxílio da fatoração L.U, encontre a matriz inversa de A. Encontre a fatoração L.U da matriz A=\left[\begin{array}{lll}5 & 2 & 1 \\\\ 3 & 1 & 4 \\\\ 1 & 1 & 3\end{array}\right]. Em seguida, com o auxílio da fatoração L.U, encontre a matriz inversa de A. Resolva o sistema linear A x=b através da fatoração L U com estratégia de pivoteamento parcial, onde: A=\left[\begin{array}{lllllllllllll}1 & -2 & 7 & 2 ; & 2 & 5 & -3 & 1 ; 9 & -6 & 4 & 1 ; 4 & -3 & -6\end{array}\right] e b=\left[\begin{array}{lllllll}-18 ; & 31 ; & 35 ; & 15\end{array}\right]. Resolva o sistema linear A x=b através da fatoração L U com estratégia de pivoteamento parcial, onde: A=\left[\begin{array}{lllllllllllll}1 & -2 & 7 & 2 ; & 2 & 5 & -3 & 1 ; 9 & -6 & 4 & 1 ; 4 & -3 & -6\end{array}\right] e b=\left[\begin{array}{lllllll}-18 ; & 31 ; & 35 ; & 15\end{array}\right].