Encontre o fluxo do campo vetorial
para cima através da porção do plano
que está acima do quadrado
e
, no plano
. Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o fluxo do campo vetorial
para cima através da parte do plano
que está acima do quadrado definido por
e
no plano
. Para isso, vamos usar o conceito de fluxo de campos vetoriais através de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluxo” que passa pela superfície. Matemáticamente, é calculado pela integral de superfície do produto escalar do campo vetorial com o vetor normal à superfície.
Passo 3
Vamos parametrizar a superfície. A equação do plano é
. Podemos resolver para
:
Agora, expressamos a superfície em termos de
e
, já que estamos trabalhando acima do quadrado no plano
.
Passo 4
O vetor normal à superfície,
, pode ser encontrado a partir das derivadas parciais de
em relação a
e
. Calculamos:
Assim, o vetor normal não unitário é:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar do campo vetorial
com o vetor normal
:
Substituímos
na expressão:
Simplificando:
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla sobre a região
e
:
Passo 7
Vamos resolver a integral primeiro em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
O fluxo do campo vetorial é
.