Encontre o fluxo do campo vetorial f(x, y, z) = (0, 0, z) através da porção da esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2 no primeiro octante no sentido oposto à origem. Resp: pi a^3 / 6

Passo 1

Vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! O enunciado pede para encontrar o fluxo do campo vetorial através da porção da esfera que está no primeiro octante (onde x, y e z são positivos). O fluxo deve ser calculado no sentido oposto à origem. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Precisaremos entender como parametrizar a superfície da esfera e aplicar a fórmula do fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de campo que atravessa a superfície. Matematicamente, é dado por:
onde:
  • f é o campo vetorial.
  • n é o vetor normal à superfície.
  • é um elemento de área na superfície S.

Passo 3

Vamos parametrizar a superfície da esfera . No primeiro octante, x, y e z são positivos. Podemos usar coordenadas esféricas para facilitar a parametrização:
onde phi varia de 0 a pi / 2 e theta varia de 0 a pi / 2 para cobrir o primeiro octante.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor normal n à superfície. Em coordenadas esféricas, o vetor normal é simplesmente o vetor radial, que é:
Como estamos calculando o fluxo no sentido oposto à origem, o vetor normal terá a direção contrária:

Passo 5

A área diferencial na superfície da esfera é dada por:

Passo 6

Agora, vamos substituir tudo na fórmula do fluxo:
Substituindo :

Passo 7

Integrando em phi de 0 a pi / 2 e em theta de 0 a pi / 2:
A integral em theta é simples:
Então:

Passo 8

Vamos resolver a integral em phi:
Fazendo a substituição , :
Aplicando os limites de 0 a pi / 2:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão do fluxo:
Como o fluxo foi calculado no sentido oposto à origem, o valor positivo do fluxo é pi a^3 / 6.

Resposta

O fluxo do campo vetorial é pi a^3 / 6.

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