Encontre o fluxo do campo vetorial através da porção da esfera no primeiro octante no sentido oposto à origem. Resp:
Passo 1
Vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! O enunciado pede para encontrar o fluxo do campo vetorial através da porção da esfera que está no primeiro octante (onde , e são positivos). O fluxo deve ser calculado no sentido oposto à origem. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Precisaremos entender como parametrizar a superfície da esfera e aplicar a fórmula do fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de campo que atravessa a superfície. Matematicamente, é dado por:
onde:
é o campo vetorial.
é o vetor normal à superfície.
é um elemento de área na superfície .
Passo 3
Vamos parametrizar a superfície da esfera . No primeiro octante, , e são positivos. Podemos usar coordenadas esféricas para facilitar a parametrização:
onde phi varia de 0 a pi / 2 e theta varia de 0 a pi / 2 para cobrir o primeiro octante.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor normal n à superfície. Em coordenadas esféricas, o vetor normal é simplesmente o vetor radial, que é:
Como estamos calculando o fluxo no sentido oposto à origem, o vetor normal terá a direção contrária:
Passo 5
A área diferencial na superfície da esfera é dada por:
Passo 6
Agora, vamos substituir tudo na fórmula do fluxo:
Substituindo :
Passo 7
Integrando em phi de 0 a pi / 2 e em theta de 0 a pi / 2:
A integral em theta é simples:
Então:
Passo 8
Vamos resolver a integral em phi:
Fazendo a substituição , :
Aplicando os limites de 0 a pi / 2:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão do fluxo:
Como o fluxo foi calculado no sentido oposto à origem, o valor positivo do fluxo é pi a^3 / 6.