Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de sobre a superfície , que é um cone dado pela parametrização com e . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariado, especificamente integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar parametrizar a superfície, encontrar o elemento de área e depois integrar a função sobre os limites dados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas em termos dos parâmetros e :
Isso nos ajuda a expressar a função de forma mais simples na próxima etapa.
Passo 3
Agora, vamos calcular os vetores tangentes parciais da superfície em relação a e . Isso é essencial para encontrar o elemento de área :
Esses vetores nos dão a direção da superfície nas direções dos parâmetros.
Passo 4
Em seguida, calculamos o produto vetorial desses vetores tangentes para obter o vetor normal à superfície:
O vetor resultante é perpendicular à superfície e vai nos ajudar a encontrar .
Passo 5
O elemento de área é a magnitude desse produto vetorial:
Simplificando:
Já que .
Passo 6
Agora, substituímos x y z = (u cos v)(u sin v)(u) = u^3 cos v sin v na função que estamos integrando:
Isso simplifica a função que vamos integrar.
Passo 7
Montamos a integral dupla com os limites dados:
integral duplaS x y z , dS = integral0^pi2 integral0^1 u^3 cos v sin v cdot u raiz2 , du , dv = raiz2 integral0^pi2 cos v sin v ( integral0^1 u^4 , du ) dv
Aqui, separamos as integrais para facilitar o cálculo.
Passo 8
Calculamos a integral em integral0^1 u^4 , du = [ u^55 ]0^1 = 15 :
Substituímos esse resultado na integral principal.
Passo 9
Agora, a integral se torna:
raiz2 cdot 15 integral0^pi2 cos v sin v , dv
Faltando apenas a integral em .
Passo 10
Calculamos a integral em integral0^pi2 cos v sin v , dv = 12 integral0^pi2 sin(2v) , dv = 12 [ -cos(2v)2 ]0^pi2 = 14 [ -cos pi + cos 0 ] = 14 (1 + 1) = 12 usando uma substituição simples: