Calcule integral duplaS x y z d S, onde S é o cone r(u, v)=(u cos v, u senv, u), 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= pi2. Resp: raiz210

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de sobre a superfície , que é um cone dado pela parametrização com e . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariado, especificamente integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar parametrizar a superfície, encontrar o elemento de área e depois integrar a função sobre os limites dados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas x = u cos v, y = u sin v, z = u em termos dos parâmetros e :
Isso nos ajuda a expressar a função de forma mais simples na próxima etapa.

Passo 3

Agora, vamos calcular os vetores tangentes parciais da superfície em relação a partial rpartial u = (cos v, sin v, 1), partial rpartial v = (-u sin v, u cos v, 0) e . Isso é essencial para encontrar o elemento de área :
Esses vetores nos dão a direção da superfície nas direções dos parâmetros.

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto vetorial desses vetores tangentes para obter o vetor normal à superfície:
partial rpartial u times partial rpartial v = (-u cos v, -u sin v, u)
O vetor resultante é perpendicular à superfície e vai nos ajudar a encontrar .

Passo 5

O elemento de área dS = | partial rpartial u times partial rpartial v | du dv = raiz(-u cos v)^2 + (-u sin v)^2 + u^2 , du , dv = raizu^2 cos^2 v + u^2 sin^2 v + u^2 , du , dv é a magnitude desse produto vetorial:
dS = u raiz cos^2 v + sin^2 v + 1 , du , dv = u raiz2 , du , dv
Simplificando:
Já que .

Passo 6

Agora, substituímos x y z = (u cos v)(u sin v)(u) = u^3 cos v sin v na função que estamos integrando:
Isso simplifica a função que vamos integrar.

Passo 7

Montamos a integral dupla com os limites dados:
integral duplaS x y z , dS = integral0^pi2 integral0^1 u^3 cos v sin v cdot u raiz2 , du , dv = raiz2 integral0^pi2 cos v sin v ( integral0^1 u^4 , du ) dv
Aqui, separamos as integrais para facilitar o cálculo.

Passo 8

Calculamos a integral em integral0^1 u^4 , du = [ u^55 ]0^1 = 15 :
Substituímos esse resultado na integral principal.

Passo 9

Agora, a integral se torna:
raiz2 cdot 15 integral0^pi2 cos v sin v , dv
Faltando apenas a integral em .

Passo 10

Calculamos a integral em integral0^pi2 cos v sin v , dv = 12 integral0^pi2 sin(2v) , dv = 12 [ -cos(2v)2 ]0^pi2 = 14 [ -cos pi + cos 0 ] = 14 (1 + 1) = 12 usando uma substituição simples:
Isso simplifica a expressão final.

Passo 11

Finalmente, multiplicamos todos os termos:
raiz2 cdot 15 cdot 12 = raiz210

Resposta

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