Encontre a forma disjuntiva mínima para as seguintes expressões booleanas usando mapas de Karnaugh e indique o número de formas disjuntivas mínimas diferentes que você consegue encontrar para cada uma delas: (f) \mu=a b c+a b c^{\prime}+a b^{\prime} c+a b^{\prime} c^{\prime}+a^{\prime} b c+a^{\prime} b c^{\prime}+a^{\prime} b^{\prime} c+a^{\prime} b^{\prime} c^{\prime}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (peguei a expressão do enunciado). A função booleana é
\mu = a b c + a b c^{\prime} + a b^{\prime} c + a b^{\prime} c^{\prime} + a^{\prime} b c + a^{\prime} b c^{\prime} + a^{\prime} b^{\prime} c + a^{\prime} b^{\prime} c^{\prime}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Cada termo é um mintermo (produto de literais) correspondente a uma combinação distinta de (a,b,c).
  • Os mintermos listados correspondem às oito combinações possíveis de (a,b,c): (0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1). Ou seja, todos os mintermos de três variáveis estão presentes.
O que o enunciado pede:
  • Encontrar a forma disjuntiva mínima (SOP mínima) usando mapa de Karnaugh.
  • Indicar o número de formas disjuntivas mínimas diferentes que se conseguem encontrar para essa função.

Passo 2

Breve aula prática sobre mapas de Karnaugh (K-map) e regras de agrupamento — isso é necessário para entender o procedimento.
  • Um mapa de Karnaugh para três variáveis tem 8 células, cada célula correspondendo a um mintermo distinto de (a,b,c).
  • Regras importantes:
    • Pode agrupar células 1 em potências de dois: 1,2,4,8,\dots.
    • Grupos podem “envolver” as bordas (efeito de dobramento), i.e., o mapa é considerado com contorno toroidal.
    • Cada grupo reduz as literais: um grupo de 2^k células elimina k literais do produto resultante.
    • Objetivo no SOP: cobrir todas as células com valor 1 usando o menor número possível de grupos e produzir termos com o menor número total de literais.
  • Observação: se todas as 2^n células do mapa são 1, existe um grupo de tamanho 2^n que cobre o mapa inteiro.

Passo 3

Construção do K-map e preenchimento (explicando mentalmente, já que a função tem todas as células iguais a 1).
  • Como identifiquei no Passo 1, todos os mintermos estão presentes, logo cada célula do K-map vale 1.
  • Para três variáveis, há exatamente 2^3=8 células; todas são 1.

Passo 4

Fazer os agrupamentos no K-map e extrair o termo simplificado.
  • Como todas as 8 células valem 1, posso formar um único grupo que contenha as 8 células (grupo de tamanho 8=2^3). Esse é permitido nas regras do K-map.
  • Um grupo de tamanho 8 para um K-map de três variáveis elimina todas as literais, porque um grupo de 2^3 cobre todas as combinações e não há nenhuma variável que seja constante dentro do grupo.
  • A consequência lógica é que o termo correspondente a esse grupo não contém variáveis: é a constante lógica 1.
  • Portanto a forma disjuntiva obtida é simplesmente a constante 1:
\mu_{\text{min}} = 1.

Passo 5

Explicação por que essa forma é mínima e por que não existem formas disjuntivas “mais mínimas”.
  • Minimalidade: a representação \;1\; tem zero literais e é um único termo; não há como ter menos que isso (não existe “termo com menos de zero literais”), então é minimamente pequena.
  • Unicidade (em termos de minimização absoluta): qualquer outra soma de produtos equivalente (por exemplo \;a + a^{\prime}\; ou \;b + b^{\prime}\;) também representa a função constante 1, mas essas alternativas usam termos com literais (duas literais no caso de a + a^{\prime}) — portanto têm custo maior em número de literais e não são tão mínimas quanto a constante \;1.
  • Observação técnica: se a métrica de “mínimo” for o número total de literais (ou o número de termos), a constante \;1\; é única minimizadora porque tem 0 literais e 1 termo. Não há outra expressão disjuntiva com 0 literais. Assim não há outra forma disjuntiva mínima distinta que seja tão pequena quanto \;1.

Passo 6

Resumo final e incentivo rápido: toda função que contém todos os mintermos (ou seja, que é verdadeira para todas as combinações) é a tautologia. No K-map isso aparece como todas as células 1 e se agrupa tudo de uma vez. Respira: aqui a simplificação é simples e ótima — só a constante \;1\;. Vai dar certo na prova!

Resposta

\mu_{\text{min}} = 1
Número de formas disjuntivas mínimas diferentes encontradas: 1

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