Encontre a forma disjuntiva mínima para as seguintes expressões booleanas usando mapas de Karnaugh e indique o número de formas disjuntivas mínimas diferentes que você consegue encontrar para cada uma delas: (f)
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (peguei a expressão do enunciado). A função booleana é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Cada termo é um mintermo (produto de literais) correspondente a uma combinação distinta de
. - Os mintermos listados correspondem às oito combinações possíveis de
: . Ou seja, todos os mintermos de três variáveis estão presentes.
O que o enunciado pede:
- Encontrar a forma disjuntiva mínima (SOP mínima) usando mapa de Karnaugh.
- Indicar o número de formas disjuntivas mínimas diferentes que se conseguem encontrar para essa função.
Passo 2
Breve aula prática sobre mapas de Karnaugh (K-map) e regras de agrupamento — isso é necessário para entender o procedimento.
- Um mapa de Karnaugh para três variáveis tem 8 células, cada célula correspondendo a um mintermo distinto de
. - Regras importantes:
- Pode agrupar células 1 em potências de dois:
. - Grupos podem “envolver” as bordas (efeito de dobramento), i.e., o mapa é considerado com contorno toroidal.
- Cada grupo reduz as literais: um grupo de
células elimina literais do produto resultante. - Objetivo no SOP: cobrir todas as células com valor 1 usando o menor número possível de grupos e produzir termos com o menor número total de literais.
- Pode agrupar células 1 em potências de dois:
- Observação: se todas as
células do mapa são 1, existe um grupo de tamanho que cobre o mapa inteiro.
Passo 3
Construção do K-map e preenchimento (explicando mentalmente, já que a função tem todas as células iguais a 1).
- Como identifiquei no Passo 1, todos os mintermos estão presentes, logo cada célula do K-map vale 1.
- Para três variáveis, há exatamente
células; todas são 1.
Passo 4
Fazer os agrupamentos no K-map e extrair o termo simplificado.
- Como todas as 8 células valem 1, posso formar um único grupo que contenha as 8 células (grupo de tamanho
). Esse é permitido nas regras do K-map. - Um grupo de tamanho
para um K-map de três variáveis elimina todas as literais, porque um grupo de cobre todas as combinações e não há nenhuma variável que seja constante dentro do grupo. - A consequência lógica é que o termo correspondente a esse grupo não contém variáveis: é a constante lógica 1.
- Portanto a forma disjuntiva obtida é simplesmente a constante 1:
Passo 5
Explicação por que essa forma é mínima e por que não existem formas disjuntivas “mais mínimas”.
- Minimalidade: a representação
tem zero literais e é um único termo; não há como ter menos que isso (não existe “termo com menos de zero literais”), então é minimamente pequena. - Unicidade (em termos de minimização absoluta): qualquer outra soma de produtos equivalente (por exemplo
ou ) também representa a função constante 1, mas essas alternativas usam termos com literais (duas literais no caso de ) — portanto têm custo maior em número de literais e não são tão mínimas quanto a constante . - Observação técnica: se a métrica de “mínimo” for o número total de literais (ou o número de termos), a constante
é única minimizadora porque tem 0 literais e 1 termo. Não há outra expressão disjuntiva com 0 literais. Assim não há outra forma disjuntiva mínima distinta que seja tão pequena quanto .
Passo 6
Resumo final e incentivo rápido: toda função que contém todos os mintermos (ou seja, que é verdadeira para todas as combinações) é a tautologia. No K-map isso aparece como todas as células 1 e se agrupa tudo de uma vez. Respira: aqui a simplificação é simples e ótima — só a constante
. Vai dar certo na prova!
Resposta
Número de formas disjuntivas mínimas diferentes encontradas: