Uma partícula se move pela curva C dada por y^2=x^3, com y >= 0, em R^2.
Calcule a distância percorrida pela partícula do ponto (0,0) ao ponto (4,8).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move ao longo da curva $ y^{2} = x^{3} $ no plano $ \mathbb{R}^{2} $. O objetivo é calcular a distância que essa partícula percorre do ponto $ (0,0) $ até o ponto $ (4,8) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o comprimento de arco de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da curva $ y^{2} = x^{3} $ de uma forma que nos ajude a calcular a distância. Como $ y \geq 0 $, podemos isolar $ y $:
y^2 = x^3

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $. Isso é importante porque a fórmula do comprimento de arco envolve a derivada da função.
y

Passo 4

A fórmula para o comprimento de arco $ L $ de uma curva $ y = f(x) $ entre dois pontos $ x = a $ e $ x = b $ é:
L

Passo 5

Vamos substituir $ \frac{dy}{dx} $ na fórmula:
dydx

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral. Para simplificar, fazemos uma substituição:
u = 1 + 94x Rightarrow du = 94 dx Rightarrow dx = 49 du
Mudando os limites de integração:
  • Quando $ x = 0 $, $ u = 1 $
  • Quando $ x = 4 $, $ u = 1 + \frac{9}{4} \times 4 = 10 $
Substituindo na integral:
x = 0
Resolvendo a integral:
u = 1
Aplicando os limites:
x = 4

Passo 7

Vamos calcular o valor numérico:
raiz10 approx 3,1623 10 raiz10 approx 31,623 31,623 - 1 = 30,623 827 times 30,623 approx 9,06

Resposta

A distância percorrida pela partícula do ponto $ (0,0) $ ao ponto $ (4,8) $ é aproximadamente 9,06 unidades.

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