Uma partícula se move pela curva
dada por
, com
, em
.
Calcule a distância percorrida pela partícula do ponto
ao ponto
.
Calcule a distância percorrida pela partícula do ponto
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move ao longo da curva $ y^{2} = x^{3} $ no plano $ \mathbb{R}^{2} $. O objetivo é calcular a distância que essa partícula percorre do ponto $ (0,0) $ até o ponto $ (4,8) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o comprimento de arco de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da curva $ y^{2} = x^{3} $ de uma forma que nos ajude a calcular a distância. Como $ y \geq 0 $, podemos isolar $ y $:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $. Isso é importante porque a fórmula do comprimento de arco envolve a derivada da função.
Passo 4
A fórmula para o comprimento de arco $ L $ de uma curva $ y = f(x) $ entre dois pontos $ x = a $ e $ x = b $ é:
Passo 5
Vamos substituir $ \frac{dy}{dx} $ na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral. Para simplificar, fazemos uma substituição:
Mudando os limites de integração:
- Quando $ x = 0 $, $ u = 1 $
- Quando $ x = 4 $, $ u = 1 + \frac{9}{4} \times 4 = 10 $
Substituindo na integral:
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites:
Passo 7
Vamos calcular o valor numérico:
Resposta
A distância percorrida pela partícula do ponto $ (0,0) $ ao ponto $ (4,8) $ é aproximadamente 9,06 unidades.