Encontre a forma escalonada dos seguintes sistemas lineares sobre \mathbb{C} e determine seu conjunto solução. \left\{\begin{aligned} 3 x_{1}+2 x_{2}-x_{3} & =-15 \\\\ 5 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3} & =0 \\\\ 3 x_{1}+x_{2}+3 x_{3} & =11 \\\\ -6 x_{1}-4 x_{2}+2 x_{3} & =30\end{aligned}\right.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos.
Pede duas coisas:
Encontrar a forma escalonada do sistema linear (ou seja, uma forma por linhas obtida por operações elementares que deixe o sistema “triangular” por cima).
Lembrete rápido sobre operações elementares (essas são as ferramentas que vamos usar):
Permutar duas linhas.
Multiplicar uma linha por um escalar não nulo.
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema. O objetivo é obter zeros abaixo dos pivôs (entradas principais) para ter a forma escalonada.]
Passo 3
Escolher pivô na primeira coluna e eliminar abaixo.
Escolhemos o pivô na posição (1,1), que vale \,3. Vamos zerar as entradas abaixo de 3 na primeira coluna usando combinações lineares:
Fazer R_2 \leftarrow R_2 - \dfrac{5}{3}R_1. Isso anula a primeira entrada da segunda linha.
Fazer R_3 \leftarrow R_3 - 1\cdot R_1. (pois \dfrac{3}{3}=1)
Esta matriz já está em forma escalonada por linhas (há pivôs em colunas progressivas 1, 2 e 3, e zeros abaixo de cada pivô). Podemos parar aqui para apresentar a forma escalonada. Mas para obter a solução de forma direta, é prático prosseguir e eliminar acima dos pivôs (retro-substituição), chegando à forma escalonada reduzida, o que dá a solução de imediato.]
Passo 6
Retro-substituição (eliminar acima dos pivôs) para facilitar leitura da solução.
Usamos o pivô da terceira linha para eliminar as entradas na coluna 3 acima dele:
Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 11R_3.
Fazer R_1 \leftarrow R_1 + 1\cdot R_3.
Aplicando:
Em R_2: a parte direita fica 75 - 11\cdot 7 = 75 - 77 = -2, e o coeficiente da coluna 3 fica 11 - 11\cdot 1 = 0.
Em R_1: a parte direita fica -15 + 7 = -8, e o coeficiente da coluna 3 fica -1 + 1\cdot 1 = 0.