Encontre a forma escalonada dos seguintes sistemas lineares sobre \mathbb{C} e determine seu conjunto solução.
\left\{\begin{aligned} 3 x_{1}+2 x_{2}-x_{3} & =-15 \\\\ 5 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3} & =0 \\\\ 3 x_{1}+x_{2}+3 x_{3} & =11 \\\\ -6 x_{1}-4 x_{2}+2 x_{3} & =30\end{aligned}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Pede duas coisas:
    1. Encontrar a forma escalonada do sistema linear (ou seja, uma forma por linhas obtida por operações elementares que deixe o sistema “triangular” por cima).
    2. Determinar o conjunto solução do sistema.
  • O sistema fornecido é
\left\{\begin{aligned} 3x_{1}+2x_{2}-x_{3} &= -15,\\[4pt] 5x_{1}+3x_{2}+2x_{3} &= 0,\\[4pt] 3x_{1}+x_{2}+3x_{3} &= 11,\\[4pt] -6x_{1}-4x_{2}+2x_{3} &= 30. \end{aligned}\right.
  • Informação útil já organizada: a matriz aumentada do sistema (coluna das incógnitas seguida da coluna dos termos independentes).]

Passo 2

Montar a matriz aumentada e explicar operações elementares.
A matriz aumentada inicial é
\begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & \vline & -15\\[4pt] 5 & 3 & 2 & \vline & 0\\[4pt] 3 & 1 & 3 & \vline & 11\\[4pt] -6 & -4 & 2 & \vline & 30 \end{pmatrix}.
Lembrete rápido sobre operações elementares (essas são as ferramentas que vamos usar):
  • Permutar duas linhas.
  • Multiplicar uma linha por um escalar não nulo.
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema. O objetivo é obter zeros abaixo dos pivôs (entradas principais) para ter a forma escalonada.]

Passo 3

Escolher pivô na primeira coluna e eliminar abaixo.
Escolhemos o pivô na posição (1,1), que vale \,3. Vamos zerar as entradas abaixo de 3 na primeira coluna usando combinações lineares:
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - \dfrac{5}{3}R_1. Isso anula a primeira entrada da segunda linha.
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 - 1\cdot R_1. (pois \dfrac{3}{3}=1)
  • Fazer R_4 \leftarrow R_4 + 2\cdot R_1. (pois -6 + 2\cdot 3 = 0)
Aplicando essas operações obtemos:
\begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & \vline & -15\\[4pt] 0 & -\dfrac{1}{3} & \dfrac{11}{3} & \vline & 25\\[6pt] 0 & -1 & 4 & \vline & 26\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \vline & 0 \end{pmatrix}.
Note que a quarta linha ficou nula: isso significa que a quarta equação era combinação das anteriores (não traz nova restrição).]

Passo 4

Tornar os coeficientes mais simples (livrar-se de frações) e eliminar na segunda coluna.
Multiplicamos a segunda linha por 3 para evitar frações: R_2 \leftarrow 3R_2. Agora:
\begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & \vline & -15\\[4pt] 0 & -1 & 11 & \vline & 75\\[6pt] 0 & -1 & 4 & \vline & 26\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \vline & 0 \end{pmatrix}.
Agora usamos o pivô da segunda linha, que é -1 na posição (2,2), para zerar a entrada abaixo dele:
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 - R_2 (isso elimina o -1 em R_3 segunda coluna).
Resultado:
\begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & \vline & -15\\[4pt] 0 & -1 & 11 & \vline & 75\\[6pt] 0 & 0 & -7 & \vline & -49\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \vline & 0 \end{pmatrix}.
Agora já temos zeros abaixo dos pivôs das duas primeiras colunas — estamos perto da forma escalonada.]

Passo 5

Escalonar a terceira coluna e simplificar pivô.
A terceira linha tem agora -7 na coluna 3; podemos normalizar esse pivô dividindo a linha por -7:
R_3 \leftarrow \dfrac{1}{-7}R_3, obtendo
\begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & \vline & -15\\[4pt] 0 & -1 & 11 & \vline & 75\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \vline & 7\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \vline & 0 \end{pmatrix}.
Esta matriz já está em forma escalonada por linhas (há pivôs em colunas progressivas 1, 2 e 3, e zeros abaixo de cada pivô). Podemos parar aqui para apresentar a forma escalonada. Mas para obter a solução de forma direta, é prático prosseguir e eliminar acima dos pivôs (retro-substituição), chegando à forma escalonada reduzida, o que dá a solução de imediato.]

Passo 6

Retro-substituição (eliminar acima dos pivôs) para facilitar leitura da solução.
Usamos o pivô da terceira linha para eliminar as entradas na coluna 3 acima dele:
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 11R_3.
  • Fazer R_1 \leftarrow R_1 + 1\cdot R_3.
Aplicando:
  • Em R_2: a parte direita fica 75 - 11\cdot 7 = 75 - 77 = -2, e o coeficiente da coluna 3 fica 11 - 11\cdot 1 = 0.
  • Em R_1: a parte direita fica -15 + 7 = -8, e o coeficiente da coluna 3 fica -1 + 1\cdot 1 = 0.
Matriz atual:
\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 & \vline & -8\\[4pt] 0 & -1 & 0 & \vline & -2\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \vline & 7\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \vline & 0 \end{pmatrix}.
Agora eliminamos o coeficiente 2 em R_1, segunda coluna, usando R_2 (pivô -1):
  • Fazer R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2.
RHS de R_1: -8 + 2\cdot(-2) = -8 -4 = -12. Assim:
\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & \vline & -12\\[4pt] 0 & -1 & 0 & \vline & -2\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \vline & 7\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \vline & 0 \end{pmatrix}.
Por fim, normalizamos as linhas com pivôs diferentes de 1:
  • R_1 \leftarrow \dfrac{1}{3}R_1 dá primeira linha (1,0,0\,|\, -4).
  • R_2 \leftarrow -1\cdot R_2 dá segunda linha (0,1,0\,|\, 2).
Obtemos a forma escalonada reduzida (reduced row-echelon form):
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vline & -4\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \vline & 2\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \vline & 7\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \vline & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Interpretar a forma escalonada reduzida e escrever o conjunto solução.
A forma escalonada reduzida mostra diretamente as equações:
\begin{aligned} x_{1} &= -4,\\[4pt] x_{2} &= 2,\\[4pt] x_{3} &= 7. \end{aligned}
Como temos pivô em cada coluna de incógnita e nenhuma inconsistência, o sistema tem solução única (nenhuma variável livre).]

Resposta

\text{Forma escalonada reduzida: }\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vline & -4\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \vline & 2\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \vline & 7\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \vline & 0 \end{pmatrix}
\text{Conjunto solução: }\quad \{(x_{1},x_{2},x_{3})\in\mathbb{C}^{3}\mid x_{1}=-4,\;x_{2}=2,\;x_{3}=7\}.çã]

Exercícios relacionados