Encontre a forma escalonada dos seguintes sistemas lineares sobre \mathbb{C} e determine seu conjunto solução.
\left\{\begin{aligned}(2+i) x+3 y-i z-t & =0 \\\ (1+i) x+i y-z+2 t & =0 \\\ (3+5 i) x+y-(1+i) z-2 t & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema homogêneo sobre \mathbb{C} com quatro incógnitas x,y,z,t e três equações. Vou listar explicitamente as equações e o que é pedido.
Equações dadas:
\begin{aligned} (2+i)x+3y-i z-t&=0,\\[4pt] (1+i)x+i y-z+2t&=0,\\[4pt] (3+5i)x+y-(1+i)z-2t&=0. \end{aligned}
O que o enunciado pede:
  • Encontrar a forma escalonada (ou seja, a forma de linha escalonada por eliminação) do sistema.
  • Determinar o conjunto solução (ou seja, a descrição paramétrica de todos os vetores (x,y,z,t)\in\mathbb{C}^4 que satisfazem o sistema).]

Passo 2

Vou escrever a matriz ampliada de coeficientes (como o sistema é homogêneo, a coluna de termos independentes é a coluna nula). A ordem das colunas é (x,y,z,t):
\left[\begin{array}{cccc|c} 2+i & 3 & -i & -1 & 0\\[4pt] 1+i & i & -1 & 2 & 0\\[4pt] 3+5i & 1 & -(1+i) & -2 & 0 \end{array}\right].
Explicação rápida (lembrando fundamentos): a eliminação gaussiana consiste em aplicar operações elementares por linhas (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar por escalar não nulo) até obter uma matriz em forma escalonada, com zeros abaixo de cada pivô.]

Passo 3

Primeira etapa: zerar os elementos da primeira coluna abaixo do pivô (2+i) da primeira linha. Para evitar frações imediatas, faço combinações lineares inteiras com coeficientes complexos:
  • Substituo a linha 2 por (2+i)\text{R}_2-(1+i)\text{R}_1. Assim o primeiro elemento se anula por construção.
    Calculemos termo a termo:
Para a segunda coluna:
(2+i)\cdot i-(1+i)\cdot 3=(2i+i^2)-3-3i=(2i-1)-3-3i=-4-i.
Para a terceira coluna:
(2+i)\cdot(-1)-(1+i)\cdot(-i)=(-2-i)-\big(-i-i^2\big)=(-2-i)-\big(-i+1\big)=-2-i-(-i+1)=-3.
Para a quarta coluna:
(2+i)\cdot 2-(1+i)\cdot(-1)=(4+2i)-(-1-i)=5+3i.
Logo a nova linha 2 é
\text{R}_2'=[\,0,\\\ -4-i,\\\ -3,\\\ 5+3i\mid 0\,].

Passo 4

Agora anulo o elemento da primeira coluna na linha 3 com operação semelhante: substituo a linha 3 por (2+i)\text{R}_3-(3+5i)\text{R}_1.
Cálculos:
Segunda coluna:
(2+i)\cdot 1-(3+5i)\cdot 3=(2+i)-(9+15i)=-7-14i.
Terceira coluna:
(2+i)\cdot\big(-(1+i)\big)-(3+5i)\cdot(-i).
Calculemos cada parte: (2+i)(-1-i)=-1-3i. E (3+5i)(-i)=5-3i. Portanto a diferença é -1-3i-(5-3i)=-6.
Quarta coluna:
(2+i)(-2)-(3+5i)(-1)=(-4-2i)-(-3-5i)=-1+3i.
Então a nova linha 3 é
\text{R}_3'=[\,0,\\\ -7-14i,\\\ -6,\\\ -1+3i\mid 0\,].

Passo 5

A matriz depois das duas eliminações fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2+i & 3 & -i & -1 & 0\\[4pt] 0 & -4-i & -3 & 5+3i & 0\\[4pt] 0 & -7-14i & -6 & -1+3i & 0 \end{array}\right].
Agora precisamos zerar o elemento da segunda coluna na linha 3.]

Passo 6

Para zerar o elemento -7-14i na linha 3, faço uma combinação que evita frações imediatas: tomo
( -4 - i)\text{R}_3 -(-7-14i)\text{R}_2.
Isso anula a segunda entrada da nova linha 3. Vou calcular as entradas restantes dessa combinação.
Terceira coluna da nova R3:
(-4-i)(-6)-(-7-14i)(-3)=(24+6i)-(21+42i)=3-36i.
Quarta coluna da nova R3:
Calcule a primeira parte: (-4-i)(-1+3i)=7-11i.
Calcule a segunda parte: (-7-14i)(5+3i)=7-91i.
Subtraindo: 7-11i-(7-91i)=80i.
Portanto a linha 3 transformada é
\text{R}_3''=[\,0,\\\ 0,\\\ 3-36i,\\\ 80i\mid 0\,].

Passo 7

Agora temos a forma escalonada (linha-escalonada, com pivôs não nulos nas colunas 1,2,3):
\left[\begin{array}{cccc|c} 2+i & 3 & -i & -1 & 0\\[4pt] 0 & -4-i & -3 & 5+3i & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3-36i & 80i & 0 \end{array}\right].
Isto responde a parte “forma escalonada” pedida: pivô na primeira linha coluna 1, pivô na segunda linha coluna 2, pivô na terceira linha coluna 3. (Observação: poderia também escalar linhas para pivôs iguais a 1; mantive pivôs tal como surgiram para facilitar os cálculos exatos.)]

Passo 8

Agora resolvo o sistema por substituição regressiva. Como é um sistema homogêneo com 3 equações e 4 incógnitas, espero uma família de soluções unidimensional (grau de liberdade =4-3=1). Tomarei a variável t como parâmetro livre (qualquer t\in\mathbb{C}). Vou expressar x,y,z em função de t.
Da terceira linha escalonada:
(3-36i)z+80i\,t=0.
Isolando z:
z=-\dfrac{80i}{3-36i}\,t.
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por 3+36i):
z=-\dfrac{80i(3+36i)}{3^2+36^2}\,t =-\dfrac{80i(3+36i)}{9+1296}\,t =-\dfrac{80i(3+36i)}{1305}\,t.
Calculando o numerador -80i(3+36i)=2880-240i, obtemos
z=\dfrac{2880-240i}{1305}\,t=\dfrac{192-16i}{87}\,t.
(Observe a simplificação por 15: 2880/15=192, 240/15=16, 1305/15=87.)

Passo 9

Agora uso a segunda linha:
(-4-i)y-3z+(5+3i)t=0.
Isolando y:
(-4-i)y=3z-(5+3i)t\quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{3z-(5+3i)t}{-4-i}.
Substituindo z=\dfrac{192-16i}{87}t:
3z=\dfrac{576-48i}{87}t.
Então o numerador fica
3z-(5+3i)t=\Big(\dfrac{576-48i}{87}-(5+3i)\Big)t =\dfrac{576-48i-87(5+3i)}{87}t.
Calcule 87(5+3i)=435+261i. Subtraindo:
576-48i-(435+261i)=141-309i.
Assim
3z-(5+3i)t=\dfrac{141-309i}{87}t=\dfrac{47-103i}{29}t
(foi simplificado dividindo numerador e denominador por 3). Portanto
y=\dfrac{47-103i}{29(-4-i)}\,t.
Agora simplifico o denominador: -4-i = -1(4+i), então
y=-\dfrac{47-103i}{29(4+i)}\,t.
Multiplicando numerador e denominador por 4-i para racionalizar:
y=-\dfrac{(47-103i)(4-i)}{29(4+i)(4-i)}\,t =-\dfrac{(47-103i)(4-i)}{29\cdot 17}\,t =-\dfrac{(47-103i)(4-i)}{493}\,t.
Calculando (47-103i)(4-i)=85-459i, obtemos
y=-\dfrac{85-459i}{493}\,t=\dfrac{-85+459i}{493}\,t.
Fatorando 17 em numerador e denominador ( 85=17\cdot5,\\\ 459=17\cdot27,\\\ 493=17\cdot29), simplifica-se para
y=\dfrac{-5+27i}{29}\,t.

Passo 10

Finalmente uso a primeira linha:
(2+i)x+3y-i z-t=0.
Isolando x:
(2+i)x=-3y+i z+t\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{-3y+i z+t}{2+i}.
Substituo y=\dfrac{-5+27i}{29}t e z=\dfrac{192-16i}{87}t. Calculo passo a passo.
Primeiro -3y:
-3y=-3\cdot\dfrac{-5+27i}{29}t=\dfrac{15-81i}{29}t=\dfrac{45-243i}{87}t.
Segundo i z:
i z = i\cdot\dfrac{192-16i}{87}t=\dfrac{16+192i}{87}t.
Somando -3y+i z+t com denominador comum 87:
-3y+i z+t=\Big(\dfrac{45-243i}{87}+\dfrac{16+192i}{87}+\dfrac{87}{87}\Big)t =\dfrac{45-243i+16+192i+87}{87}t =\dfrac{148-51i}{87}t.
Logo
x=\dfrac{148-51i}{87(2+i)}\,t.
Racionalizando multiplicando por 2-i no numerador e usando (2+i)(2-i)=5:
x=\dfrac{(148-51i)(2-i)}{87\cdot 5}\,t=\dfrac{(148-51i)(2-i)}{435}\,t.
Calculando (148-51i)(2-i)=245-250i, obtemos
x=\dfrac{245-250i}{435}\,t=\dfrac{49-50i}{87}\,t
(foi simplificado dividindo por 5).

Passo 11

Concluímos que todas as soluções são múltiplos escalares do vetor \big(\dfrac{49-50i}{87},\\ \dfrac{-5+27i}{29},\\ \dfrac{192-16i}{87},\\\ 1\big). Em outras palavras, tomando o parâmetro livre t\in\mathbb{C},
(x,y,z,t)=t\left(\dfrac{49-50i}{87},\\ \dfrac{-5+27i}{29},\\ \dfrac{192-16i}{87},\\\ 1\right),\qquad t\in\mathbb{C}.

Resposta

\text{Forma escalonada:}\quad \left[\begin{array}{cccc|c} 2+i & 3 & -i & -1 & 0\\[4pt] 0 & -4-i & -3 & 5+3i & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3-36i & 80i & 0 \end{array}\right]
\text{Conjunto solução:}\quad \{\,t\big(\tfrac{49-50i}{87},\\ \tfrac{-5+27i}{29},\\ \tfrac{192-16i}{87},\\\ 1\big)\mid t\in\mathbb{C}\,\}.çã]

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