Encontre a forma escalonada dos seguintes sistemas lineares sobre \mathbb{C} e determine seu conjunto solução. \left\{\begin{aligned}(2+i) x+3 y-i z-t & =0 \\\ (1+i) x+i y-z+2 t & =0 \\\ (3+5 i) x+y-(1+i) z-2 t & =0\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema homogêneo sobre \mathbb{C} com quatro incógnitas x,y,z,t e três equações. Vou listar explicitamente as equações e o que é pedido.
Encontrar a forma escalonada (ou seja, a forma de linha escalonada por eliminação) do sistema.
Determinar o conjunto solução (ou seja, a descrição paramétrica de todos os vetores (x,y,z,t)\in\mathbb{C}^4 que satisfazem o sistema).]
Passo 2
Vou escrever a matriz ampliada de coeficientes (como o sistema é homogêneo, a coluna de termos independentes é a coluna nula). A ordem das colunas é (x,y,z,t):
Explicação rápida (lembrando fundamentos): a eliminação gaussiana consiste em aplicar operações elementares por linhas (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar por escalar não nulo) até obter uma matriz em forma escalonada, com zeros abaixo de cada pivô.]
Passo 3
Primeira etapa: zerar os elementos da primeira coluna abaixo do pivô (2+i) da primeira linha. Para evitar frações imediatas, faço combinações lineares inteiras com coeficientes complexos:
Substituo a linha 2 por (2+i)\text{R}_2-(1+i)\text{R}_1. Assim o primeiro elemento se anula por construção.
Calculemos termo a termo:
Isto responde a parte “forma escalonada” pedida: pivô na primeira linha coluna 1, pivô na segunda linha coluna 2, pivô na terceira linha coluna 3. (Observação: poderia também escalar linhas para pivôs iguais a 1; mantive pivôs tal como surgiram para facilitar os cálculos exatos.)]
Passo 8
Agora resolvo o sistema por substituição regressiva. Como é um sistema homogêneo com 3 equações e 4 incógnitas, espero uma família de soluções unidimensional (grau de liberdade =4-3=1). Tomarei a variável t como parâmetro livre (qualquer t\in\mathbb{C}). Vou expressar x,y,z em função de t.
Da terceira linha escalonada:
(3-36i)z+80i\,t=0.
Isolando z:
z=-\dfrac{80i}{3-36i}\,t.
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por 3+36i):
Concluímos que todas as soluções são múltiplos escalares do vetor \big(\dfrac{49-50i}{87},\\ \dfrac{-5+27i}{29},\\ \dfrac{192-16i}{87},\\\ 1\big). Em outras palavras, tomando o parâmetro livre t\in\mathbb{C},