O objetivo é encontrar a forma de Jordan (ou seja, uma matriz triangular em blocos de Jordan) similar a A. Para isso precisamos dos autovalores (polinômio característico) e das multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor — essas informações determinam o número e os tamanhos dos blocos de Jordan.]
Passo 2
Cálculo do polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Como a primeira coluna tem zeros exceto na primeira linha, expandimos por essa entrada:
\chi_A(\lambda)=(2-\lambda)\det(B),
onde B é a submatriz 4\times4 obtida removendo a primeira linha e a primeira coluna. Observando que a primeira linha de B também tem só o primeiro elemento não nulo, repetimos a expansão e obtemos
Da segunda equação x_4=0\]. Da terceira \(x_5=0. Então a primeira dá x_2+x_3=0\Rightarrow x_2=-x_3. A quarta é compatível (torna-se redundante). A variável x_1 não aparece em nenhuma equação, então é livre. Podemos tomar parâmetros s=x_1 e t=x_3. Assim o espaço próprio associado a \lambda=2 tem dimensão 2. Ou seja
\dim\ker(A-2I)=2.
Como a multiplicidade algébrica de 2 é 2 e a geométrica também é 2, isso implica que para \lambda=2 a restrição é diagonalizável: existem duas cadeias de Jordan de tamanho 1 (dois blocos 1\times1 com valor próprio 2).]
Passo 5
Encontrar a multiplicidade geométrica para \lambda=1: resolver (A-I)x=0.
Se x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^T, das linhas obtemos diretamente:
x_2=0,\qquad x_3+x_4=0,\qquad x_5=0,
e da primeira linha x_1+x_2+x_3+x_4=0. Substituindo x_2=0 e x_3=-x_4, a primeira linha dá x_1+0+(-x_4)+x_4 = x_1=0. A quinta linha é compatível com essas equações. Logo as únicas variáveis livres são as associadas a x_4 (podemos escolher x_4 livre e então x_3=-x_4), e x_1,x_2,x_5 são zero. Portanto
\dim\ker(A-I)=1.
A multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 1 enquanto a multiplicidade algébrica é 3. Isso significa que há exatamente uma cadeia de Jordan para \lambda=1 e seu tamanho total (soma dos tamanhos dos blocos) deve ser 3. Como há uma única cadeia, necessariamente existe um único bloco de Jordan de tamanho 3 para \lambda=1.]
Passo 6
Conclusão sobre os blocos de Jordan:
Para \lambda=2: m_a(2)=2 e m_g(2)=2 ⇒ dois blocos de tamanho 1 (blocos 1\times1 com valor próprio 2).
Para \lambda=1: m_a(1)=3 e m_g(1)=1 ⇒ um bloco de tamanho 3 (um bloco 3\times3 de Jordan com valor próprio 1).
Portanto a forma de Jordan (real ou complexa; aqui todos os autovalores são reais) é a matriz em bloco diagonal com um bloco 3\times3 para 1 e dois blocos 1\times1 para 2.
Passo 7
Escrevendo explicitamente uma escolha padrão da forma de Jordan (os blocos podem aparecer em qualquer ordem nas diagonais):
onde o bloco 3\times3 no canto superior esquerdo é o bloco de Jordan J_3(1) (autovalor 1 com superdiagonais iguais a 1) e os dois 2's na diagonal são blocos 1\times1.]