Encontre a forma de Jordan dos seguintes operadores T: \mathbb{R}^{5} \longrightarrow \mathbb{R}^{5} representados por cada umas das sesguintes matrizes:
A=\left(\begin{array}{ccccc}2 & 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede a forma de Jordan do operador T:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^5 representado pela matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
  • O objetivo é encontrar a forma de Jordan (ou seja, uma matriz triangular em blocos de Jordan) similar a A. Para isso precisamos dos autovalores (polinômio característico) e das multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor — essas informações determinam o número e os tamanhos dos blocos de Jordan.]

Passo 2

Cálculo do polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Escrevendo A-\lambda I:
A-\lambda I= \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2-\lambda & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2-\lambda & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1-\lambda & 1\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -1 & -\lambda \end{pmatrix}.
Como a primeira coluna tem zeros exceto na primeira linha, expandimos por essa entrada:
\chi_A(\lambda)=(2-\lambda)\det(B),
onde B é a submatriz 4\times4 obtida removendo a primeira linha e a primeira coluna. Observando que a primeira linha de B também tem só o primeiro elemento não nulo, repetimos a expansão e obtemos
\chi_A(\lambda)=(2-\lambda)^2\det(S),
onde
S=\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1-\lambda & 1\\[4pt] -1 & -1 & -\lambda \end{pmatrix}.
Calculamos \det(S) expandindo pela primeira linha:
\det(S)=(2-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt]-1 & -\lambda\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & -\lambda\end{pmatrix}.
Agora cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt]-1 & -\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(-\lambda)-1(-1)=\lambda^2-\lambda+1,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & -\lambda\end{pmatrix}=0\cdot(-\lambda)-1\cdot(-1)=1.
Portanto
\det(S)=(2-\lambda)(\lambda^2-\lambda+1)-1.
Expandindo e simplificando nota-se uma identidade notável:
(2-\lambda)(\lambda^2-\lambda+1)-1 = -\bigl(\lambda^3-3\lambda^2+3\lambda-1\bigr) = -(\lambda-1)^3.
Logo
\chi_A(\lambda)=(2-\lambda)^2\bigl(-( \lambda-1)^3\bigr) = (\lambda-2)^2(\lambda-1)^3,
isto é, o polinômio característico (monico) é
\chi_A(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda-1)^3.]

Passo 3

Interpretação do polinômio característico: autovalores e multiplicidades algébricas.
  • Autovalor \lambda=2 com multiplicidade algébrica m_a(2)=2.
  • Autovalor \lambda=1 com multiplicidade algébrica m_a(1)=3.
Para decidir os tamanhos dos blocos de Jordan precisamos das multiplicidades geométricas \dim\ker(A-\lambda I) para cada \lambda.

Passo 4

Encontrar a multiplicidade geométrica para [\lambda=2): resolver (A-2I)x=0.
Escrevendo A-2I:
A-2I=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -1 & -2 \end{pmatrix}.
Se x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^T, as equações são:
\begin{cases} x_2+x_3+x_4=0,\\[4pt] x_4=0,\\[4pt] -x_4+x_5=0,\\[4pt] - x_2 - x_3 - x_4 -2x_5=0. \end{cases}
Da segunda equação x_4=0\]. Da terceira \(x_5=0. Então a primeira dá x_2+x_3=0\Rightarrow x_2=-x_3. A quarta é compatível (torna-se redundante). A variável x_1 não aparece em nenhuma equação, então é livre. Podemos tomar parâmetros s=x_1 e t=x_3. Assim o espaço próprio associado a \lambda=2 tem dimensão 2. Ou seja
\dim\ker(A-2I)=2.
Como a multiplicidade algébrica de 2 é 2 e a geométrica também é 2, isso implica que para \lambda=2 a restrição é diagonalizável: existem duas cadeias de Jordan de tamanho 1 (dois blocos 1\times1 com valor próprio 2).]

Passo 5

Encontrar a multiplicidade geométrica para \lambda=1: resolver (A-I)x=0.
Escrevendo A-I:
A-I=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Se x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^T, das linhas obtemos diretamente:
x_2=0,\qquad x_3+x_4=0,\qquad x_5=0,
e da primeira linha x_1+x_2+x_3+x_4=0. Substituindo x_2=0 e x_3=-x_4, a primeira linha dá x_1+0+(-x_4)+x_4 = x_1=0. A quinta linha é compatível com essas equações. Logo as únicas variáveis livres são as associadas a x_4 (podemos escolher x_4 livre e então x_3=-x_4), e x_1,x_2,x_5 são zero. Portanto
\dim\ker(A-I)=1.
A multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 1 enquanto a multiplicidade algébrica é 3. Isso significa que há exatamente uma cadeia de Jordan para \lambda=1 e seu tamanho total (soma dos tamanhos dos blocos) deve ser 3. Como há uma única cadeia, necessariamente existe um único bloco de Jordan de tamanho 3 para \lambda=1.]

Passo 6

Conclusão sobre os blocos de Jordan:
  • Para \lambda=2: m_a(2)=2 e m_g(2)=2 ⇒ dois blocos de tamanho 1 (blocos 1\times1 com valor próprio 2).
  • Para \lambda=1: m_a(1)=3 e m_g(1)=1 ⇒ um bloco de tamanho 3 (um bloco 3\times3 de Jordan com valor próprio 1).
Portanto a forma de Jordan (real ou complexa; aqui todos os autovalores são reais) é a matriz em bloco diagonal com um bloco 3\times3 para 1 e dois blocos 1\times1 para 2.

Passo 7

Escrevendo explicitamente uma escolha padrão da forma de Jordan (os blocos podem aparecer em qualquer ordem nas diagonais):
J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
onde o bloco 3\times3 no canto superior esquerdo é o bloco de Jordan J_3(1) (autovalor 1 com superdiagonais iguais a 1) e os dois 2's na diagonal são blocos 1\times1.]

Resposta

J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}]

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