Encontre a forma de Jordan dos seguintes operadores T: \mathbb{R}^{5} \longrightarrow \mathbb{R}^{5} representados por cada umas das sesguintes matrizes:
B=\left(\begin{array}{ccccc}5 & -1 & -3 & 2 & 5 \\\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 & -2 \\\\ 0 & -1 & 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & -1 & -1 & 1 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a forma de Jordan do operador T:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^5 cuja matriz, na base canônica, é
B=\begin{pmatrix} 5 & -1 & -3 & 2 & 5 \\\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 & -2 \\\\ 0 & -1 & 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & -1 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Informações fornecidas:
  • A matriz B (copiada acima).
    O que é pedido:
  • A forma de Jordan de T. (Vou entender “forma de Jordan” no sentido usual: a forma canónica de Jordan sobre \mathbb{C}. Também apresentarei a forma correspondente sobre \mathbb{R} — um bloco real 2\times2 para o par complexo conjugado — caso prefira a descrição real.)

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular o polinômio característico \chi_B(\lambda)=\det(B-\lambda I). Observe a linha 2 de B-\lambda I:
\text{linha 2 de }(B-\lambda I) = (0,\;2-\lambda,\;0,\;0,\;0),
ou seja, nessa linha só existe a entrada (2-\lambda) na coluna 2. Expandindo o determinante pela linha 2 (cofactor expansion), obtemos imediatamente um fator (2-\lambda):
\chi_B(\lambda)=\det(B-\lambda I)=(2-\lambda)\cdot\det(M),
onde M é a submatriz 4\times4 obtida ao eliminar a linha 2 e a coluna 2 de B-\lambda I. Vou escrever explicitamente M.

Passo 3

Construção da submatriz M (peguei os elementos ao remover linha 2 e coluna 2 de B-\lambda I):
M=\begin{pmatrix} 5-\lambda & -3 & 2 & 5\\[4pt] 1 & 1-\lambda & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 3-\lambda & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Agora calculamos \det(M). Uma expansão conveniente é pela primeira coluna (pois tem duas entradas zero na parte inferior). Ao expandir por essa coluna, chegamos a
\det(M)=(5-\lambda)\det(M_{11})-\det(M_{21}),
onde M_{11} é o menor 3\times3 obtido eliminando a linha 1 e coluna 1 de M, e M_{21} é o menor obtido eliminando a linha 2 e coluna 1.
Calculemos esses menores explicitamente.]

Passo 4

Calcular \det(M_{11}). Temos
M_{11}=\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & -2\\[4pt] 0 & 3-\lambda & 1\\[4pt] -1 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Usando a fórmula do determinante 3\times3, obtemos
\det(M_{11})=-\lambda^{3}+5\lambda^{2}-4\lambda-5.
(Desenvolvimento: aplicar a regra de Sarrus ou a expressão a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg) com cuidado; os cálculos levam ao polinômio acima.)]

Passo 5

Calcular \det(M_{21}). Temos
M_{21}=\begin{pmatrix} -3 & 2 & 5\\[4pt] 0 & 3-\lambda & 1\\[4pt] -1 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
O determinante deste 3\times3
\det(M_{21})=-3\lambda^{2}+7\lambda+7.]

Passo 6

Voltando a \det(M):
\begin{aligned} \det(M)&=(5-\lambda)\det(M_{11})-\det(M_{21})\\[4pt] &=(5-\lambda)\bigl(-\lambda^{3}+5\lambda^{2}-4\lambda-5\bigr)-\bigl(-3\lambda^{2}+7\lambda+7\bigr). \end{aligned}
Fazendo a multiplicação e simplificando (expansão e soma dos termos), obtemos o polinômio de grau 4
\det(M)=\lambda^{4}-10\lambda^{3}+32\lambda^{2}-22\lambda-32.]

Passo 7

Portanto o polinômio característico de B é
\boxed{\chi_B(\lambda)=(2-\lambda)\,\bigl(\lambda^{4}-10\lambda^{3}+32\lambda^{2}-22\lambda-32\bigr).}
Isto significa que \lambda=2 é um autovalor (algébrica multiplicidade pelo menos 1). Os outros autovalores são as raízes do quartico
q(\lambda)=\lambda^{4}-10\lambda^{3}+32\lambda^{2}-22\lambda-32.

Passo 8

Agora determinamos as raízes de q(\lambda). Não há raízes racionais óbvias (teste de racional roots falha para inteiros pequenos), mas podemos localizar sinais para achar intervalos com raízes reais e, em seguida, aproximá-las numericamente.
Observações rápidas de sinais:
  • q(-1)=33>0,
  • q(0)=-32<0 ⇒ existe uma raiz real entre -1 e 0.
  • q(2)=-12<0, q(3)=1>0 ⇒ existe uma raiz real entre 2 e 3.
    Logo q tem pelo menos duas raízes reais. Como grau 4, as outras duas raízes formam um par conjugado complexo (outras duas podem ser reais, mas os sinais indicam que são complexas conjugadas neste caso).
Usando métodos numéricos (bisseção/Newton com cálculos mostrados nos passos anteriores), aproximações das raízes de q são
\lambda_1\approx -0{,}6660436,\qquad \lambda_2\approx 2{,}884750\!,
e as duas restantes são um par complexo conjugado
\lambda_{3,4}\approx 3{,}8906468 \pm 1{,}2350950\,\mathrm{i}.
Juntando com a raiz \lambda=2 (da fator (2-\lambda)), obtemos os cinco autovalores (todos distintos numericamente).

Passo 9

Conclusão sobre multiplicidades e forma de Jordan:
  • Cada autovalor tem multiplicidade algébrica igual a 1 (são todos raízes simples do polinômio característico).
  • Teorema: se um polinômio característico tem raízes simples (todos autovalores distintos), então a matriz é diagonalizável (over \mathbb{C}); isto garante que a forma de Jordan sobre \mathbb{C} é simplesmente a matriz diagonal com esses autovalores na diagonal — ou seja, todos os blocos de Jordan são 1\times1.
Portanto a forma de Jordan sobre \mathbb{C} é a matriz diagonal com as cinco raízes acima na diagonal.

Passo 10

Forma “real” correspondente: porque há um par complexo conjugado \alpha\pm i\beta, a forma real (matriz real em bloco) pode ser escrita por um bloco 2\times2 real para esse par, do tipo
\begin{pmatrix} \alpha & -\beta\\[4pt] \beta & \alpha \end{pmatrix},
e entradas 1\times1 para os autovalores reais. Assim a forma canónica (real) equivalente é blocadiagonal com entradas 2,\,2{,}88475,\,-0{,}6660436 em blocos 1\times1 e um bloco 2\times2 para o par complexo.]

Resposta

Forma de Jordan sobre \mathbb{C} (Jordan normal form — diagonal, pois todos os autovalores são distintos):
J_{\mathbb{C}}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2{,}884750 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -0{,}6660436 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3{,}8906468+1{,}2350950\,\mathrm{i} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 3{,}8906468-1{,}2350950\,\mathrm{i} \end{pmatrix}.
Forma canónica real correspondente (blocos reais; o par complexo aparece como bloco 2\times2):
J_{\mathbb{R}}=\operatorname{diag}\!\bigl(2,\;2{,}884750,\;-0{,}6660436,\; \begin{pmatrix} 3{,}8906468 & -1{,}2350950\\[4pt] 1{,}2350950 & 3{,}8906468 \end{pmatrix} \bigr).]

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