Seja T: V \rightarrow V um operador linear e V=\left[x^{2}, \cos x\right].
Na base B=\left\{x^{2}, \cos x\right\} a matriz de transformação é [T]_{B}^{B}=\left[\begin{array}{ll}5 & -2 \\\\ 9 & -4\end{array}\right].
Encontre uma nova base B^{\prime} em que [T]_{B^{\prime}}^{B^{\prime}} é diagonal.
Valendo menos: encontre M para que M^{-1}\left[\begin{array}{ll}5 & -2 \\\\ 9 & -4\end{array}\right] M seja diagonal.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T:V\to V com V=\operatorname{span}\{x^{2},\cos x\}. Na base B=\{x^{2},\cos x\} a matriz de T é
A \coloneqq [T]_{B}^{B}=\begin{pmatrix}5 & -2 \\[4pt] 9 & -4\end{pmatrix}.
O que se pede:
Encontrar uma nova base B' de V em que a matriz de T seja diagonal.
(Opcional/valendo menos) Encontrar uma matriz M tal que M^{-1} A M seja diagonal.
Aqui estão as informações relevantes que temos e vamos usar:
A matriz A representada acima.
A ideia-chave é buscar autovalores \lambda e autovetores v de A (isto é, soluções de A v=\lambda v). Se houver dois autovetores linearmente independentes em \mathbb{R}^2, então eles formam uma base B' na qual a matriz é diagonal.]
Passo 2
Conceito usado (explicado com calma):
Um autovalor \lambda de A é um número tal que existe um vetor não nulo v com A v=\lambda v.
Para encontrar \lambda resolvemos a equação característica \det(A-\lambda I)=0.
Um autovetor associado a \lambda é qualquer vetor não nulo que satisfaça (A-\lambda I)v=0.
Se conseguirmos dois autovalores distintos (no caso 2×2) então os autovetores associados são linearmente independentes e formam uma base que diagonaliza A.
Vou aplicar isto passo a passo ao nosso A.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Escrevo:
Comentário didático: como obtivemos dois autovalores distintos, sabemos que A é diagonalizável e teremos duas direções (autovetores) que formam uma base.]
Passo 4
Encontrar um autovetor para \lambda_{1}=2\). Resolvemos \((A-2I)v=0\):
\[A-2I=\begin{pmatrix}5-2 & -2 \\[4pt] 9 & -4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -2 \\[4pt] 9 & -6\end{pmatrix}.
As duas equações são múltiplas, basta usar a primeira: 3x-2y=0\Rightarrow 2y=3x\Rightarrow y=\dfrac{3}{2}x\].
Para obter um vetor com entradas inteiras escolho \(x=2, então y=3. Um autovetor correspondente é
v_{1}=\begin{pmatrix}2\\[4pt] 3\end{pmatrix}.
No espaço V=\operatorname{span}\{x^{2},\cos x\} esse autovetor representa a combinação linear 2x^{2}+3\cos x.]
Passo 5
Encontrar um autovetor para \lambda_{2}=-1\). Resolvemos \((A+I)v=0\):
\[A-(-1)I=A+I=\begin{pmatrix}5+1 & -2 \\[4pt] 9 & -4+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & -2 \\[4pt] 9 & -3\end{pmatrix}.
Se quiser verificar explicitamente, pode multiplicar M^{-1} A M e confirmar que dá \operatorname{diag}(2,-1). (Já demonstramos que A v_{1}=2 v_{1} e A v_{2}=-1 v_{2}, o que garante a diagonalização.)
Observação prática: a base B' formada pelos autovetores pode ser qualquer par de autovetores não nulos colineares aos que escolhemos (isto é, pode-se escalar cada vetor); isso apenas escala colunas de M e não impede a diagonalização, apenas pode permutar/alterar a ordem dos autovalores na diagonal.]