Encontre a forma de uma solução particular para a equação
Passo 1
Enunciado: encontrar a forma de uma solução particular para a equação
Informações dadas:
- Temos uma equação diferencial linear não-homogênea de segunda ordem.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é o produto de um polinômio em
(que é , grau ) por uma exponencial . - A tarefa pede apenas a forma (o “ansatz”) de uma solução particular, isto é, um palpite com parâmetros desconhecidos que depois seriam determinados por substituição.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando o lado direito tem a forma
onde
é um polinômio de grau
e
é um número, o método dos coeficientes indeterminados recomenda tentar uma solução particular do tipo
onde:
-
é um polinômio de grau com coeficientes desconhecidos (por exemplo ), -
é o multiplicador necessário quando é raiz do polinômio característico da equação homogênea; especificamente é a multiplicidade (número de vezes) que aparece como raiz. Esse fator evita duplicidade com a solução homogênea.
Explicando simples: sejá aparece na solução homogênea, multiplicamos por ; se aparece duas vezes (raiz dupla), multiplicamos por ; e assim por diante.
Passo 3
Encontrar
: primeiro obtemos a equação característica associada à parte homogênea
:
Essa quadrática fatoriza como
logo
é raiz de multiplicidade
. Como a exponencial do lado direito é
, temos
e a multiplicidade é
. Ou seja,
já aparece na solução homogênea com multiplicidade
, então precisamos multiplicar por
.
Passo 4
Determinar o grau do polinômio a usar: o polinômio do lado direito é
, que tem grau
. Assim escolhemos
como um polinômio de grau
com coeficientes indeterminados, por exemplo
onde
são constantes a determinar pela substituição na equação. Aplicando a regra do passo 2, multiplicamos por
.
Passo 5
Escrever o ansatz final: multiplicando
por
e por
obtemos a forma proposta para a solução particular:
Podemos expandir o polinômio interno se preferir, escrevendo uma forma equivalente mais simples:
onde
são constantes relacionadas a
(especificamente
,
,
). Esses coeficientes seriam encontrados substituindo
na equação e igualando coeficientes, mas como a questão pede só a forma, isso basta.