Encontre a forma de uma solução particular para a equação y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=t^{2} e^{t}

Passo 1

Enunciado: encontrar a forma de uma solução particular para a equação
y''-2y'+y = t^{2}e^{t}.
Informações dadas:
  • Temos uma equação diferencial linear não-homogênea de segunda ordem.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é o produto de um polinômio em t (que é t^{2}, grau 2) por uma exponencial e^{t}.
  • A tarefa pede apenas a forma (o “ansatz”) de uma solução particular, isto é, um palpite com parâmetros desconhecidos que depois seriam determinados por substituição.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando o lado direito tem a forma
P_{m}(t)\,e^{\alpha t},
onde P_{m}(t) é um polinômio de grau m e \alpha é um número, o método dos coeficientes indeterminados recomenda tentar uma solução particular do tipo
y_{p}(t)=t^{s}Q_{m}(t)\,e^{\alpha t},
onde:
  • Q_{m}(t) é um polinômio de grau m com coeficientes desconhecidos (por exemplo A t^{m}+\dots),
  • s é o multiplicador necessário quando \alpha é raiz do polinômio característico da equação homogênea; especificamente s é a multiplicidade (número de vezes) que \alpha aparece como raiz. Esse fator t^{s} evita duplicidade com a solução homogênea.
    Explicando simples: se e^{\alpha t} já aparece na solução homogênea, multiplicamos por t; se aparece duas vezes (raiz dupla), multiplicamos por t^{2}; e assim por diante.

Passo 3

Encontrar s: primeiro obtemos a equação característica associada à parte homogênea y''-2y'+y=0:
r^{2}-2r+1=0.
Essa quadrática fatoriza como
(r-1)^{2}=0,
logo r=1 é raiz de multiplicidade 2. Como a exponencial do lado direito é e^{t}, temos \alpha=1 e a multiplicidade é s=2. Ou seja, e^{t} já aparece na solução homogênea com multiplicidade 2, então precisamos multiplicar por t^{2}.

Passo 4

Determinar o grau do polinômio a usar: o polinômio do lado direito é t^{2}, que tem grau m=2. Assim escolhemos Q_{m}(t) como um polinômio de grau 2 com coeficientes indeterminados, por exemplo
Q_{2}(t)=A t^{2}+B t + C,
onde A,B,C são constantes a determinar pela substituição na equação. Aplicando a regra do passo 2, multiplicamos por t^{s}=t^{2}.

Passo 5

Escrever o ansatz final: multiplicando t^{2} por Q_{2}(t) e por e^{t} obtemos a forma proposta para a solução particular:
y_{p}(t)=t^{2}\bigl(A t^{2}+B t + C\bigr)e^{t}.
Podemos expandir o polinômio interno se preferir, escrevendo uma forma equivalente mais simples:
y_{p}(t)=\bigl(a t^{4}+b t^{3}+c t^{2}\bigr)e^{t},
onde a,b,c são constantes relacionadas a A,B,C (especificamente a=A, b=B, c=C). Esses coeficientes seriam encontrados substituindo y_{p} na equação e igualando coeficientes, mas como a questão pede só a forma, isso basta.

Resposta

y_{p}(t)=t^{2}\bigl(A t^{2}+B t + C\bigr)e^{t} = \bigl(a t^{4}+b t^{3}+c t^{2}\bigr)e^{t}

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