Encontre a forma de uma solução particular para a equação y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=t^{2}+2 t+e^{t}
Escolha uma opção: \bigcirc a. y_{p}=a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}+b e^{t} \bigcirc b. y_{p}=\left(a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}\right) t e^{t} \bigcirc c. y_{p}=a_{2} t^{2}+a_{1} t+b t e^{t} \bigcirc d. y_{p}=a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}+b t e^{t}
Passo 1
O enunciado pede a forma (o “chute” da solução particular) para a equação
y'' + 2y' - 3y = t^{2} + 2t + e^{t}.
Informações relevantes dadas:
O membro direito (forçamento) é a soma de duas partes: um polinômio de grau 2, que é t^{2}+2t (mais implicitamente um termo constante), e um exponencial e^{t}.
Queremos apenas a forma da solução particular y_{p} (ou seja, o tipo de função com coeficientes indeterminados que devemos tentar), não é pedido calcular os coeficientes explicitamente.
Passo 2
Estratégia geral (explicação didática do método que vamos aplicar):
Para equações lineares com coeficientes constantes e termos não-homogêneos como polinômios, exponenciais, senos/cossenos, etc., usamos o método dos coeficientes indeterminados. A ideia é propor um y_{p} com a mesma “família” do forçamento (polinômio para polinômio, constante vezes e^{\alpha t} para exponencial e^{\alpha t}, etc.), com coeficientes indeterminados que depois seriam encontrados.
Atenção importante: se a forma proposta coincidir com uma solução da equação homogênea associada, temos ressonância; então devemos multiplicar a proposta por potências de t até que deixe de coincidir. Vou ensinar e aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Encontrar as soluções da equação homogênea associada (isso é necessário para checar ressonância).
A equação homogênea é
y'' + 2y' - 3y = 0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo obtemos o polinômio característico
Conclusão: as soluções exponenciais da homogênea são e^{t} e e^{-3t}. Isso significa que e^{t} é uma solução da homogênea (raiz r=1).
Passo 4
Tratar a parte polinomial do forçamento: t^{2}+2t.
Regra prática: se o lado direito tem um polinômio de grau n, tentamos um polinômio de grau n como y_{p}^{(pol)} = a_{2}t^{2} + a_{1}t + a_{0} com coeficientes indeterminados a_{2},a_{1},a_{0}.
Só multiplicamos por potências de t se o polinômio proposto pertence ao espaço de soluções da homogênea (ou seja, se r=0 é raiz do característico, ou se partes do polinômio coincidirem com soluções da homogênea). Aqui verificamos r=0 no polinômio característico:
r^{2}+2r-3\Big|_{r=0} = -3 \neq 0.
Portanto r=0 não é raiz; não há ressonância com polinômios e podemos usar diretamente
y_{p}^{(pol)} = a_{2}t^{2} + a_{1}t + a_{0}.
Explicação intuitiva: não existe solução da homogênea do tipo constante ou polinomial que forcaria multiplicar por t.
Passo 5
Tratar a parte exponencial do forçamento: e^{t}.
Regra prática: para um termo Ce^{\alpha t} tentamos y_{p}^{(exp)} = B e^{\alpha t}, a menos que \alpha seja raiz do polinômio característico. Se \alpha for raiz de multiplicidade m, multiplicamos por t^{m}.
Aqui \alpha = 1. Já encontramos que r=1 é raiz simples do característico (multiplicidade 1). Logo há ressonância de ordem 1.
Portanto a proposta simples b e^{t} colidiria com a solução homogênea; precisamos multiplicar por t uma vez:
y_{p}^{(exp)} = b \, t e^{t},
onde b é coeficiente indeterminado.
Passo 6
Combinar as duas partes (linearidade permite somar as propostas):
Essa é a forma correta da solução particular que devemos tentar com o método dos coeficientes indeterminados neste problema.
Passo 7
Comparar com as opções fornecidas:
a. y_{p}=a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}+b e^{t} — está errada, porque não multiplica e^{t} por t apesar de e^{t} ser solução da homogênea.
b. y_{p}=\left(a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}\right) t e^{t} — está errada, multiplica todo o polinômio por t e^{t}, o que não corresponde ao forçamento (mistura errado as partes).
c. y_{p}=a_{2} t^{2}+a_{1} t+b t e^{t} — está faltando o termo constante a_{0} do polinômio grau 2.
d. y_{p}=a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}+b t e^{t} — corresponde exatamente à forma que deduzimos.