Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
10-2+0,4-0,08

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série 10 - 2 + 0,4 - 0,08 e, depois, ver se a série converge para algum valor. Para isso, vamos usar conceitos de sequências geométricas e somas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de série temos aqui. Olhando os termos 10, -2, 0,4, -0,08,dots, percebemos que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por um número constante. Isso caracteriza uma sequência geométrica.
Vamos identificar o primeiro termo ( a1) e a razão ( r):
  • Primeiro termo ( a1): 10
  • Razão ( r): Para encontrar a razão, dividimos o segundo termo pelo primeiro: r = -210 = -0,2
Então, nossa sequência geométrica tem a1 = 10 e r = -0,2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a fórmula para a n-ésima soma parcial dessa série. A soma parcial Sn de uma sequência geométrica é dada pela fórmula:
Sn = a1 cdot 1 - r^n1 - r
Onde:
  • Sn é a soma dos primeiros n termos.
  • a1 é o primeiro termo.
  • r é a razão da sequência.
  • n é o número de termos que estamos somando.
Essa fórmula nos ajuda a calcular a soma dos termos até o n-ésimo termo sem precisar somar cada termo individualmente.

Passo 4

Vamos agora aplicar essa fórmula para encontrar a soma da série quando ela converge. Para que uma série geométrica infinita converja, a razão r precisa satisfazer a condição |r| < 1.
No nosso caso, r = -0,2 e:
|r| = |-0,2| = 0,2 < 1
Como a condição é satisfeita, a série converge. A soma da série infinita S é dada por:
S = a11 - r

Resposta

Aplicando os valores, temos:
S = 101 - (-0,2) = 101 + 0,2 = 101,2 = 10012 = 253 approx 8,33
Portanto, a soma da série infinita 10 - 2 + 0,4 - 0,08 + dots é 253 ou aproximadamente 8,33.

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