Encontre uma fórmula para a
-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar uma fórmula para a
-ésima soma parcial da série
e, depois, ver se a série converge para algum valor. Para isso, vamos usar conceitos de sequências geométricas e somas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de série temos aqui. Olhando os termos
, percebemos que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por um número constante. Isso caracteriza uma sequência geométrica.
Vamos identificar o primeiro termo (
) e a razão (
):
- Primeiro termo (
): 10 - Razão (
): Para encontrar a razão, dividimos o segundo termo pelo primeiro:
Então, nossa sequência geométrica tem
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a fórmula para a
-ésima soma parcial dessa série. A soma parcial
de uma sequência geométrica é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a soma dos primeiros termos. -
é o primeiro termo. -
é a razão da sequência. -
é o número de termos que estamos somando.
Essa fórmula nos ajuda a calcular a soma dos termos até o
-ésimo termo sem precisar somar cada termo individualmente.
Passo 4
Vamos agora aplicar essa fórmula para encontrar a soma da série quando ela converge. Para que uma série geométrica infinita converja, a razão
precisa satisfazer a condição
.
No nosso caso,
e:
Como a condição é satisfeita, a série converge. A soma da série infinita
é dada por:
Resposta
Aplicando os valores, temos:
Portanto, a soma da série infinita
é
ou aproximadamente 8,33.