Encontre uma fórmula para a
-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série
e precisamos encontrar uma fórmula para a soma parcial até o
-ésimo termo (chamada de soma parcial) dessa série. Além disso, se a série convergir, queremos encontrar o valor da soma infinita. Para isso, vamos usar conceitos de progressões geométricas.
Passo 2
Vamos identificar se essa série é uma progressão geométrica. Uma progressão geométrica é uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é o resultado do termo anterior multiplicado por uma constante chamada razão (
). Observando a série:
Então, confirmamos que é uma progressão geométrica com razão
.
Passo 3
Sabendo que é uma progressão geométrica, podemos usar a fórmula da soma parcial de uma PG. A fórmula para a soma dos
primeiros termos (
) de uma PG é:
onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Passo 4
Aplicando os valores da nossa série na fórmula:
- Primeiro termo (
) = 1 - Razão (
) = 0{,}4
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, para encontrar a soma da série quando
tende ao infinito, precisamos verificar se a série converge. Para uma PG, ela converge se
. Como
, a série converge.
A fórmula da soma infinita (
) de uma PG que converge é:
Passo 6
Aplicando os valores:
Resposta
A soma da série é
, ou aproximadamente
.