Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
1+0,4+0,16+0,064+cdots

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série 1 + 0,4 + 0,16 + 0,064 + cdots e precisamos encontrar uma fórmula para a soma parcial até o n-ésimo termo (chamada de soma parcial) dessa série. Além disso, se a série convergir, queremos encontrar o valor da soma infinita. Para isso, vamos usar conceitos de progressões geométricas.

Passo 2

Vamos identificar se essa série é uma progressão geométrica. Uma progressão geométrica é uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é o resultado do termo anterior multiplicado por uma constante chamada razão ( r). Observando a série:
0,4 = 1 times 0,4
0,16 = 0,4 times 0,4
0,064 = 0,16 times 0,4
Então, confirmamos que é uma progressão geométrica com razão r = 0,4.

Passo 3

Sabendo que é uma progressão geométrica, podemos usar a fórmula da soma parcial de uma PG. A fórmula para a soma dos n primeiros termos ( Sn) de uma PG é:
Sn = a1 times 1 - r^n1 - r
onde a1 é o primeiro termo e r é a razão.

Passo 4

Aplicando os valores da nossa série na fórmula:
  • Primeiro termo ( a1) = 1
  • Razão ( r) = 0{,}4
Substituindo na fórmula:
Sn = 1 times 1 - (0,4)^n1 - 0,4 = 1 - (0,4)^n0,6

Passo 5

Agora, para encontrar a soma da série quando n tende ao infinito, precisamos verificar se a série converge. Para uma PG, ela converge se |r| < 1. Como 0,4 < 1, a série converge.
A fórmula da soma infinita ( S) de uma PG que converge é:
S = a11 - r

Passo 6

Aplicando os valores:
S = 11 - 0,4 = 10,6 = 53 approx 1,6667

Resposta

A soma da série é 53, ou aproximadamente 1,6667.

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