Determine a função f(x) no caso em que:
f^prime(x)=41+x^2, com f(1)=0

Passo 1

Nesse exercício, a gente tem a derivada de uma função
f'(x)=41+x^2 e uma condição inicial f(1)=0. O conteúdo é antiderivação (integração) de funções do tipo 1/(1+x^2) e determinação de constante via condição inicial.

Passo 2

Para encontrar f(x), integramos f'(x):
A regra básica é
integral 11+x^2,dx = arctan x + C
Multiplicando por 4, temos
f(x) = integral 41+x^2,dx = 4arctan x + C

Passo 3

Agora usamos a condição f(1)=0. Substituindo x=1 na expressão geral:
f(1) = 4arctan(1) + C = 0
Como arctan(1)=pi/4, isso dá
4cdotpi4 + C = pi + C = 0 ;Rightarrow; C = -pi
Logo a função é
f(x) = 4arctan x - pi

Resposta

f(x)=4arctan x - pi

Exercícios relacionados