Encontre uma fórmula fechada para a n-ésima derivada das funções abaixo:
f(x)=x e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a fórmula da n-ésima derivada de f(x)=x e^{x}.
O conteúdo principal aqui é a regra de Leibniz para a derivada de um produto, que diz como expressar \bigl(u(x)v(x)\bigr)^{(n)}.

Passo 2

Seja u(x)=x e v(x)=e^{x}. A regra de Leibniz afirma:
f^{(n)}(x)=\bigl(u(x)v(x)\bigr)^{(n)} =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,u^{(k)}(x)\,v^{(n-k)}(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v: \,u^{(0)}(x)=x,\;u^{(1)}(x)=1,\;u^{(k)}(x)=0 para todo k\ge2,
e v^{(m)}(x)=e^{x} para todo m\ge0.
Assim, na soma de Leibniz só sobram os termos k=0 e k=1.

Passo 4

Substituindo na soma:
f^{(n)}(x) =e^{x}\Bigl[\binom{n}{0}\,x+\binom{n}{1}\Bigr] =e^{x}\bigl[x+n\bigr].

Resposta

f^{(n)}(x)=(x+n)\,e^{x}.

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