Sabendo que a variável y depende da variável x, isto é y=y(x), utilize diferenciação implícita para calcular, nas seguintes curvas, tanto a derivada, y^{\prime}(x), quanto a equação da reta tangente à y(x) no ponto P dado:
x^{2}+x y^{2}+y^{2}=4, P=(0,2)

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^{2} + x\,y^{2} + y^{2} = 4
e pede (1) a derivada y'(x) por diferenciação implícita e (2) a equação da reta tangente em P=(0,2). Vamos usar regras de derivação de soma, produto e da cadeia para obter y' e depois aplicar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
x^{2} + x\,y^{2} + y^{2} = 4
em relação a x, lembrando que y=y(x), temos
\frac{d}{dx}(x^{2}) + \frac{d}{dx}(x\,y^{2}) + \frac{d}{dx}(y^{2}) = \frac{d}{dx}(4).
Aplicando:
\frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x,
\frac{d}{dx}(x\,y^{2}) = 1\cdot y^{2} + x\cdot 2y\,y',
\frac{d}{dx}(y^{2}) = 2y\,y',
\frac{d}{dx}(4) = 0.
Logo, a soma das derivações é
2x + y^{2} + 2xy\,y' + 2y\,y' = 0.

Passo 3

Agrupando os termos que contêm y', obtemos
2x + y^{2} + (2x y + 2y)\,y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad (2x y + 2y)\,y' = -\,\bigl(2x + y^{2}\bigr).
Isolando y',
y' = \frac{-\,(2x + y^{2})}{2y\,(x + 1)}.

Passo 4

Para a reta tangente em P=(0,2) precisamos do coeficiente angular m = y'(0):
y'(0) = \frac{-\bigl(2\cdot0 + 2^{2}\bigr)}{2\cdot2\,(0+1)} = \frac{-4}{4} = -1.
A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação é
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}) \quad\Longrightarrow\quad y - 2 = -1\,(x - 0) \quad\Longrightarrow\quad y = -x + 2.

Resposta

A derivada implícita é
y'(x) = \frac{-(2x + y^{2})}{2y\,(x + 1)},
e a reta tangente em P=(0,2) é
y = -x + 2.

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