Encontre uma fórmula para a função inversa para cada uma das funções abaixo.
f(x)=1-x^2, x >= 0

Passo 1

O enunciado pede a inversa da função
fcolon [0,infty)toR, f(x)=1 - x^2
O conteúdo aqui é função inversa: primeiro garantimos invertibilidade por monotonicidade, depois achamos a imagem e finalmente resolvemos y=f(x) para x.

Passo 2

Para x>=0 temos que x^2 é estritamente crescente, logo
f(x)=1 - x^2
é estritamente decrescente em [0,infty). Assim, f é invertível. Além disso, quando x vai de 0 a infty, x^2 vai de 0 a infty e
f(x)=1-x^2
varia de 1 até -infty. Portanto
Im(f)=(-infty,1]

Passo 3

Para obter a inversa, escrevemos y=f(x) e resolvemos para x:
y = 1 - x^2 Longrightarrow x^2 = 1 - y Longrightarrow x = raiz,1 - y,,
onde escolhemos o sinal positivo porque x>=0. Logo a inversa é
f^-1(y)=raiz1 - y,
com domínio y<=1.

Resposta

A função inversa é
f^-1(x)=raiz1 - x, x<=1

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