Encontre uma fórmula para a função inversa.
f(x)=3 / x^2, x<0.

Passo 1

O enunciado pede a inversa de
f(x)=3x^2, x<0
O conteúdo é “função inversa”: precisamos ver que f é injetora em (-infty,0) e depois resolver a equação y=f(x) para x.

Passo 2

Verificamos domínio, imagem e injetividade de f:
  • Domínio de f é (-infty,0).
  • Para x<0 temos x^2>0, logo f(x)>0. A imagem de f é (0,infty).
  • A derivada
f'(x) = -6/x^3
é positiva em (-infty,0) (pois x^3<0 e o menos torna f'>0), então f é estritamente crescente e, portanto, injetora.

Passo 3

Escrevemos y=f(x) e isolamos x:
y=3x^2
x^2=3y

Passo 4

Da última equação tiramos
x=pmraiz3y
Como a condição original é x<0, escolhemos o sinal -:
x=-raiz3y
Trocando o papel de x e y, obtemos a inversa.

Resposta

f^-1(x)=-raiz3x, x>0

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