Resolva:
4 x^2+3 cos (y)-x sen(y) y^prime=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
4x^2+3cos(y)-xsin(y),y'=0
O conteúdo é reconhecimento de equação exata e uso de fator integrante. Vamos reescrever em forma diferencial M(x,y),dx+N(x,y),dy=0.

Passo 2

Escrevendo
(4x^2+3cos y),dx ;-; xsin y,dy = 0,
temos
M(x,y)=4x^2+3cos y, N(x,y)=-xsin y
Calculamos
partial Mpartial y=-3sin y, partial Npartial x=-sin y,
logo a equação não é exata, pois partial M/partial yneq partial N/partial x.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa só de x. Usamos
mu(x)=exp!l(integral partial Mpartial y-partial Npartial xN,dxr) =exp!l(integral -3sin y -(-sin y)-xsin y,dxr) =exp!l(integral 2x,dxr) =x^2
Multiplicamos a equação original por x^2:
(4x^4+3x^2cos y),dx ;-; x^3sin y,dy = 0

Passo 4

Agora temos M^*=4x^4+3x^2cos y e N^*=-x^3sin y com
partial M^*/partial y=-3x^2sin y e partial N^*/partial x=-3x^2sin y,
logo a equação é exata. Existe Phi(x,y) tal que
partialPhi/partial x=M^* e partialPhi/partial y=N^*.

Passo 5

Integramos M^* em relação a x:
Phi(x,y)=integral(4x^4+3x^2cos y),dx =45x^5+x^3cos y +h(y)
Derivando em relação a y:
partialPhipartial y =-x^3sin y +h'(y),
que deve ser igual a N^*=-x^3sin y. Logo h'(y)=0 e h é constante.

Resposta

45x^5 + x^3cos y = C,
onde C é constante de integração.

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