Encontre uma fórmula para a função inversa:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede uma fórmula para a função inversa
. Informações que temos (diretamente do enunciado):
- A expressão de
é . - A função está definida para todo
(um polinômio não tem restrições de domínio).
O objetivo final é escrever uma fórmula explícita que, dada uma entrada(ou , na notação usual para a inversa), retorna o valor original tal que .
Passo 2
O que é a função inversa, de forma prática?
- Seja
. A função inversa deve satisfazer
- Em notação de composição, isso significa
Para existir uma inversa,
precisa ser bijetora (injetora e sobrejetora) no domínio/contradomínio considerados. Nosso trabalho será: (i) checar rapidamente que a inversa existe; (ii) isolar
na equação
para obter a fórmula da inversa.
Passo 3
Por que
tem inversa (verificação de injetividade/sobretudo)?
- A função
é estritamente crescente em (potência ímpar com coeficiente positivo). Uma forma simples de ver isso é olhar a derivada:
e, como uma função polinomial com essa estrutura,
não “volta para trás” — é monotônica crescente. Logo
é injetora.
- Somar
(ou seja, considerar ) é apenas um deslocamento vertical; não altera a propriedade de ser injetora. Portanto é injetora. - Como
assume todos os valores reais (para potências ímpares, o conjunto imagem é ), temos que também é sobrejetora em . Conclusão: é bijetora e, portanto, tem inversa definida em todo .
Passo 4
Isolando a variável para obter a inversa (parte algébrica):
- Começamos escrevendo
, isto é
- Isolamos
:
- Agora aplicamos a raiz nona (a operação inversa de elevar à nona potência). Como o expoente é ímpar, a raiz nona de um número real sempre existe e é única no conjunto dos reais. Assim
Essa expressão dá
em termos de
, que é exatamente a definição de
.
Passo 5
Ajustando a notação para a forma usual da inversa:
- É comum escrever a variável independente da função inversa como
em vez de . Então substituímos por na expressão obtida:
- Observação importante sobre sinais e domínio: como a raiz nona é uma raiz de ordem ímpar,
é bem definida para todo (não há problema com números negativos dentro da raiz).
Passo 6
Verificação rápida por composição (checar que realmente é inversa):
- Calcular
:
- Calcular
:
onde usamos que
para todo
(expoente ímpar). Assim as duas composições retornam a identidade, confirmando que a fórmula está correta.