Encontre uma fórmula para a função inversa:
f(x)=x^{9}+14

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=x^{9}+14
e pede uma fórmula para a função inversa f^{-1}. Informações que temos (diretamente do enunciado):
  • A expressão de f é \,x^{9}+14.
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R} (um polinômio não tem restrições de domínio).
    O objetivo final é escrever uma fórmula explícita que, dada uma entrada y (ou x, na notação usual para a inversa), retorna o valor original x tal que f(x)=y.

Passo 2

O que é a função inversa, de forma prática?
  • Seja y=f(x). A função inversa f^{-1} deve satisfazer
f^{-1}(y)=x\quad\text{quando}\quad y=f(x).
  • Em notação de composição, isso significa
f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=y\quad\text{e}\quad f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x.
Para existir uma inversa, f precisa ser bijetora (injetora e sobrejetora) no domínio/contradomínio considerados. Nosso trabalho será: (i) checar rapidamente que a inversa existe; (ii) isolar x na equação y=x^{9}+14 para obter a fórmula da inversa.

Passo 3

Por que f tem inversa (verificação de injetividade/sobretudo)?
  • A função g(x)=x^{9} é estritamente crescente em \mathbb{R} (potência ímpar com coeficiente positivo). Uma forma simples de ver isso é olhar a derivada:
g'(x)=9x^{8}\ge 0\quad\text{e}\quad g'(x)=0\text{ apenas em }x=0,
e, como uma função polinomial com essa estrutura, g não “volta para trás” — é monotônica crescente. Logo g é injetora.
  • Somar 14 (ou seja, considerar f(x)=g(x)+14) é apenas um deslocamento vertical; não altera a propriedade de ser injetora. Portanto f é injetora.
  • Como g assume todos os valores reais (para potências ímpares, o conjunto imagem é \mathbb{R}), temos que f também é sobrejetora em \mathbb{R}. Conclusão: f é bijetora \mathbb{R}\to\mathbb{R} e, portanto, tem inversa definida em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Isolando a variável para obter a inversa (parte algébrica):
  • Começamos escrevendo y=f(x), isto é
y=x^{9}+14.
  • Isolamos x^{9}:
y-14 = x^{9}.
  • Agora aplicamos a raiz nona (a operação inversa de elevar à nona potência). Como o expoente é ímpar, a raiz nona de um número real sempre existe e é única no conjunto dos reais. Assim
x = \bigl(y-14\bigr)^{1/9}.
Essa expressão dá x em termos de y, que é exatamente a definição de f^{-1}.

Passo 5

Ajustando a notação para a forma usual da inversa:
  • É comum escrever a variável independente da função inversa como x em vez de y. Então substituímos y por x na expressão obtida:
f^{-1}(x)=\bigl(x-14\bigr)^{1/9}.
  • Observação importante sobre sinais e domínio: como a raiz nona é uma raiz de ordem ímpar, \bigl(x-14\bigr)^{1/9} é bem definida para todo x\in\mathbb{R} (não há problema com números negativos dentro da raiz).

Passo 6

Verificação rápida por composição (checar que realmente é inversa):
  • Calcular f\bigl(f^{-1}(x)\bigr):
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=\left(\bigl(x-14\bigr)^{1/9}\right)^{9}+14 = x-14+14 = x.
  • Calcular f^{-1}\bigl(f(x)\bigr):
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=\bigl(x^{9}+14-14\bigr)^{1/9}=\bigl(x^{9}\bigr)^{1/9}=x,
onde usamos que \bigl(x^{9}\bigr)^{1/9}=x para todo x\in\mathbb{R} (expoente ímpar). Assim as duas composições retornam a identidade, confirmando que a fórmula está correta.

Resposta

f^{-1}(x)=\bigl(x-14\bigr)^{1/9}

Exercícios relacionados