Questão 28 Esboce os gráficos das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas (explicitamente ou que decorrem da definição de
):
- A função é
. - Não há figura fornecida; o pedido é construir o gráfico a partir da definição e propriedades da função inversa do cosseno.
Passo 2
O que é
? Vou explicar devagarinho.
- Por definição,
é o único número em tal que . - Isso implica imediatamente duas coisas fundamentais:
- Domínio:
, isto é . - Contradomínio (imagem/prange):
.
- Domínio:
- Exemplos de valores fáceis que já servem como pontos para o esboço:
-
. -
. -
. -
. -
.
-
Passo 3
Como usar a relação com o cosseno para desenhar o gráfico (ideia prática):
- Considere o arco do cosseno no intervalo
: o gráfico com vai de até e é decrescente. - O gráfico de
é justamente o inverso desse arco: se pertence ao gráfico de (com ), então pertence ao gráfico de . - Operacionalmente para esboçar: marque os pontos
, , e trace a curva suave e decrescente que liga a .
Passo 4
Monotonicidade e continuidade — por que a curva é decrescente e contínua:
-
é contínua e estritamente decrescente em . O inverso de uma função contínua e estritamente monotônica é contínuo e monotônico do sentido oposto. Logo é contínua em e estritamente decrescente. - Consequência útil: sempre que
em tem-se .
Passo 5
Derivada e comportamento das tangentes (para entender a inclinação da curva):
- Se
então . Diferenciando ambos os lados em relação a : portanto - Como
(em a raiz é não-negativa), obtemos a fórmula clássica - Interpretação prática:
- A derivada é negativa para todo
, confirmando que a função é estritamente decrescente. - Quando
a raiz no denominador tende a , logo . Isso significa que a curva fica muito íngreme perto de — tangentes quase verticais nas extremidades do domínio.
- A derivada é negativa para todo
Passo 6
Concavidade e ponto de inflexão (ajuda a desenhar a curvatura correta):
- Calcule a segunda derivada a partir da primeira:
- Sinal de
: - Para
: ⇒ curva côncava para cima. - Para
: ⇒ curva côncava para baixo. - Em
: e há uma mudança de concavidade — ponto de inflexão em .
- Para
- Isso diz como “encher” a curva entre os pontos marcados: ascendente curvatura para cima à esquerda do eixo
, e curvatura para baixo à direita.
Passo 7
Passo-a-passo prático para esboçar no papel (sem calculadora):
- Desenhe os eixos
e . - Marque no eixo
os pontos . Marque no eixo os pontos . - Coloque os pontos-chave:
, , . Opcionalmente acrescente e para guiar a forma. - Trace uma curva suave e estritamente decrescente ligando
a , com: - tangentes muito íngremes (quase verticais) perto de
, - mudança de concavidade em
(curva côncava para cima à esquerda, côncava para baixo à direita).
- tangentes muito íngremes (quase verticais) perto de
- Verifique: todo ponto do gráfico tem coordenada
entre e e coordenada entre e .
Passo 8
Resumo visual em palavras (como seria o desenho final):
- Uma curva que parte em
, desce passando por e chega em . - É contínua, estritamente decrescente, com tangentes muito inclinadas nas extremidades e inflexão em
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Pontos-chave:
Derivada: (negativa em
)
Curva: decrescente de até
, tangentes muito íngremes nas extremidades e ponto de inflexão em
.
Imagem:
Pontos-chave:
Derivada:
Curva: decrescente de