Questão 28 Esboce os gráficos das seguintes funções
b(x)=\operatorname{arccos} (x)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função b(x)=\operatorname{arccos}(x).
Informações dadas (explicitamente ou que decorrem da definição de \operatorname{arccos}):
  • A função é b:\;\;x\mapsto \operatorname{arccos}(x).
  • Não há figura fornecida; o pedido é construir o gráfico a partir da definição e propriedades da função inversa do cosseno.

Passo 2

O que é \operatorname{arccos}? Vou explicar devagarinho.
  • Por definição, \operatorname{arccos}(x) é o único número y em [0,\pi] tal que \cos(y)=x.
  • Isso implica imediatamente duas coisas fundamentais:
    • Domínio: \{x\mid -1\le x\le 1\}, isto é [-1,1].
    • Contradomínio (imagem/prange): [0,\pi].
  • Exemplos de valores fáceis que já servem como pontos para o esboço:
    • \operatorname{arccos}(1)=0.
    • \operatorname{arccos}(0)=\dfrac{\pi}{2}.
    • \operatorname{arccos}(-1)=\pi.
    • \operatorname{arccos}\!\left(\tfrac12\right)=\dfrac{\pi}{3}.
    • \operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac12\right)=\dfrac{2\pi}{3}.

Passo 3

Como usar a relação com o cosseno para desenhar o gráfico (ideia prática):
  • Considere o arco do cosseno no intervalo [0,\pi]: o gráfico y=\cos t com t\in[0,\pi] vai de (t=0,\;y=1) até (t=\pi,\;y=-1) e é decrescente.
  • O gráfico de y=\operatorname{arccos} x é justamente o inverso desse arco: se (t,\cos t) pertence ao gráfico de \cos (com t\in[0,\pi]), então (\cos t,t) pertence ao gráfico de \operatorname{arccos}.
  • Operacionalmente para esboçar: marque os pontos (1,0), (0,\tfrac{\pi}{2}), (-1,\pi) e trace a curva suave e decrescente que liga (-1,\pi) a (1,0).

Passo 4

Monotonicidade e continuidade — por que a curva é decrescente e contínua:
  • \cos t é contínua e estritamente decrescente em [0,\pi]. O inverso de uma função contínua e estritamente monotônica é contínuo e monotônico do sentido oposto. Logo \operatorname{arccos} x é contínua em [-1,1] e estritamente decrescente.
  • Consequência útil: sempre que x_1<x_2 em [-1,1] tem-se \operatorname{arccos}(x_1)>\operatorname{arccos}(x_2).

Passo 5

Derivada e comportamento das tangentes (para entender a inclinação da curva):
  • Se y=\operatorname{arccos} x então \cos y=x. Diferenciando ambos os lados em relação a x: -\sin y\cdot \frac{dy}{dx}=1,portanto \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\operatorname{arccos} x = -\frac{1}{\sin y}.
  • Como \sin y=\sqrt{1-\cos^2 y}=\sqrt{1-x^2} (em [0,\pi] a raiz é não-negativa), obtemos a fórmula clássica \frac{d}{dx}\operatorname{arccos} x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad -1<x<1.
  • Interpretação prática:
    • A derivada é negativa para todo x\in(-1,1), confirmando que a função é estritamente decrescente.
    • Quando x\to\pm1 a raiz no denominador tende a 0, logo |\frac{d}{dx}\operatorname{arccos} x|\to\infty. Isso significa que a curva fica muito íngreme perto de x=\pm1 — tangentes quase verticais nas extremidades do domínio.

Passo 6

Concavidade e ponto de inflexão (ajuda a desenhar a curvatura correta):
  • Calcule a segunda derivada a partir da primeira: \frac{d^2}{dx^2}\operatorname{arccos} x = -\frac{d}{dx}\bigl(1-x^2\bigr)^{-1/2} = -\left(-\tfrac12\right)(1-x^2)^{-3/2}(-2x) = -\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}.
  • Sinal de b''(x):
    • Para x<0: b''(x)>0 ⇒ curva côncava para cima.
    • Para x>0: b''(x)<0 ⇒ curva côncava para baixo.
    • Em x=0: b''(0)=0 e há uma mudança de concavidade — ponto de inflexão em \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr).
  • Isso diz como “encher” a curva entre os pontos marcados: ascendente curvatura para cima à esquerda do eixo y, e curvatura para baixo à direita.

Passo 7

Passo-a-passo prático para esboçar no papel (sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque no eixo x os pontos -1,0,1. Marque no eixo y os pontos 0,\tfrac{\pi}{2},\pi.
  3. Coloque os pontos-chave: (-1,\pi), (0,\tfrac{\pi}{2}), (1,0). Opcionalmente acrescente \bigl(\tfrac12,\tfrac{\pi}{3}\bigr) e \bigl(-\tfrac12,\tfrac{2\pi}{3}\bigr) para guiar a forma.
  4. Trace uma curva suave e estritamente decrescente ligando (-1,\pi) a (1,0), com:
    • tangentes muito íngremes (quase verticais) perto de x=\pm1,
    • mudança de concavidade em x=0 (curva côncava para cima à esquerda, côncava para baixo à direita).
  5. Verifique: todo ponto do gráfico tem coordenada y entre 0 e \pi e coordenada x entre -1 e 1.

Passo 8

Resumo visual em palavras (como seria o desenho final):
  • Uma curva que parte em (-1,\pi), desce passando por (0,\tfrac{\pi}{2}) e chega em (1,0).
  • É contínua, estritamente decrescente, com tangentes muito inclinadas nas extremidades e inflexão em (0,\tfrac{\pi}{2}).

Resposta

Domínio: [-1,1]
Imagem: [0,\pi]
Pontos-chave: \operatorname{arccos}(1)=0,\\ \operatorname{arccos}(0)=\dfrac{\pi}{2},\\ \operatorname{arccos}(-1)=\pi
Derivada: \dfrac{d}{dx}\operatorname{arccos} x = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} (negativa em (-1,1))
Curva: decrescente de (-1,\pi) até (1,0), tangentes muito íngremes nas extremidades e ponto de inflexão em \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr).

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