Encontre uma fórmula para a função inversa:
f(x)=2 x+1

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=2x+1 e pede que se encontre uma fórmula para a função inversa f^{-1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=2x+1.
  • A pergunta é: qual a expressão algébrica de f^{-1}(x)?

Passo 2

O que significa “função inversa”: a função f^{-1} deve “desfazer” o efeito de f. Ou seja, para todo x no domínio apropriado vale
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x \qquad\text{e}\qquad f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x.
Além disso, o domínio de f^{-1} é a imagem (contradomínio alcançado) de f, e a imagem de f^{-1} é o domínio de f. Para achar uma inversa algebricamente, a técnica padrão é: escrever y=f(x), resolver essa equação para x em termos de y, e então trocar os nomes x e y para obter f^{-1}(x).

Passo 3

Verificar que f tem inversa: funções lineares da forma f(x)=ax+b têm inversa sempre que a\neq0. Aqui a=2\neq0, logo f é bijetora (injetora e sobrejetora em \mathbb{R}) e possui inversa definida em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Aplicar o método algébrico. Primeiro escrevo
y=2x+1.
Agora resolvo essa igualdade para x em função de y:
y-1=2x,
x=\dfrac{y-1}{2}.
Agora troco o papel de x e y (isso dá a fórmula da inversa com a variável usual x):
f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}.

Passo 5

Explicar e checar por composição (verificação rápida): calcular f\bigl(f^{-1}(x)\bigr):
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=f\!\left(\dfrac{x-1}{2}\right)=2\cdot\left(\dfrac{x-1}{2}\right)+1=(x-1)+1=x.
E a outra composição:
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=f^{-1}(2x+1)=\dfrac{(2x+1)-1}{2}=\dfrac{2x}{2}=x.
As duas composições retornam x, portanto a fórmula encontrada está correta.

Passo 6

Domínio e imagem: como f mapeia \mathbb{R} em \mathbb{R}, a inversa também tem domínio \mathbb{R} e imagem \mathbb{R}. Exemplos numéricos rápidos para fixar:
  • f(0)=1 e f^{-1}(1)=\dfrac{1-1}{2}=0.
  • f(3)=7 e f^{-1}(7)=\dfrac{7-1}{2}=3.

Passo 7

Resumo prático que vale na prova: para f(x)=ax+b com a\neq0 a inversa é f^{-1}(x)=\dfrac{x-b}{a}. No caso a=2 e b=1 isso dá exatamente \dfrac{x-1}{2}. Vai dar tudo certo — respire e pratique mais alguns exemplos semelhantes!

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}

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