Encontre uma fórmula para a função inversa:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede que se encontre uma fórmula para a função inversa
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - A pergunta é: qual a expressão algébrica de
?
Passo 2
O que significa “função inversa”: a função
deve “desfazer” o efeito de
. Ou seja, para todo
no domínio apropriado vale
Além disso, o domínio de
é a imagem (contradomínio alcançado) de
, e a imagem de
é o domínio de
. Para achar uma inversa algebricamente, a técnica padrão é: escrever
, resolver essa equação para
em termos de
, e então trocar os nomes
e
para obter
.
Passo 3
Verificar que
tem inversa: funções lineares da forma
têm inversa sempre que
. Aqui
, logo
é bijetora (injetora e sobrejetora em
) e possui inversa definida em todo
.
Passo 4
Aplicar o método algébrico. Primeiro escrevo
Agora resolvo essa igualdade para
em função de
:
Agora troco o papel de
e
(isso dá a fórmula da inversa com a variável usual
):
Passo 5
Explicar e checar por composição (verificação rápida): calcular
:
E a outra composição:
As duas composições retornam
, portanto a fórmula encontrada está correta.
Passo 6
Domínio e imagem: como
mapeia
em
, a inversa também tem domínio
e imagem
. Exemplos numéricos rápidos para fixar:
-
e . -
e .
Passo 7
Resumo prático que vale na prova: para
com
a inversa é
. No caso
e
isso dá exatamente
. Vai dar tudo certo — respire e pratique mais alguns exemplos semelhantes!