Encontre a fórmula para a
-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
Passo 1
O enunciado pede a fórmula da
-ésima soma parcial da série
e, em seguida, usar essa fórmula para verificar se a série converge e, em caso afirmativo, encontrar seu valor. O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais e soma telescópica.
Passo 2
Vamos decompor o termo genérico
em frações parciais. Procuramos constantes
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Para essa igualdade valer para todo
, igualamos coeficientes:
Logo,
. Portanto
Passo 3
A
-ésima soma parcial
é
Essa soma é telescópica, pois ao expandir temos
Quase tudo se cancela, sobrando
Multiplicando por
, concluímos que
Passo 4
Para verificar a convergência, examinamos o limite de
quando
:
Como esse limite existe e é finito, a série converge e sua soma é
.
Resposta
A fórmula da
-ésima soma parcial é
e a série converge para