Encontre a fórmula para a n-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
\frac{5}{1 \cdot 2}+\frac{5}{2 \cdot 3}+\frac{5}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{5}{n(n+1)}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede a fórmula da n-ésima soma parcial da série
\frac{5}{1\cdot2}+\frac{5}{2\cdot3}+\frac{5}{3\cdot4}+\cdots+\frac{5}{n(n+1)}+\cdots
e, em seguida, usar essa fórmula para verificar se a série converge e, em caso afirmativo, encontrar seu valor. O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais e soma telescópica.

Passo 2

Vamos decompor o termo genérico
\frac{5}{n(n+1)}
em frações parciais. Procuramos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{5}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}.
Multiplicando ambos os lados por n(n+1), obtemos
5 = A(n+1) + Bn = (A+B)\,n + A.
Para essa igualdade valer para todo n, igualamos coeficientes:
\begin{cases} A + B = 0,\\\ A = 5. \end{cases}
Logo, A=5\] e \(B=-5. Portanto
\frac{5}{n(n+1)} = 5\Bigl(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\Bigr).

Passo 3

A n-ésima soma parcial S_{n} é
S_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{5}{k(k+1)} = 5 \sum_{k=1}^{n} \Bigl(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\Bigr).
Essa soma é telescópica, pois ao expandir temos
\sum_{k=1}^{n} \Bigl(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\Bigr) = \bigl(1-\tfrac12\bigr) + \bigl(\tfrac12-\tfrac13\bigr) + \cdots + \bigl(\tfrac1n - \tfrac{1}{n+1}\bigr).
Quase tudo se cancela, sobrando
1 - \frac{1}{n+1}.
Multiplicando por 5, concluímos que
S_{n} = 5\Bigl(1 - \frac{1}{n+1}\Bigr).

Passo 4

Para verificar a convergência, examinamos o limite de S_{n} quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} S_{n} = \lim_{n\to\infty} 5\Bigl(1 - \frac{1}{n+1}\Bigr) = 5\bigl(1 - 0\bigr) = 5.
Como esse limite existe e é finito, a série converge e sua soma é 5.

Resposta

A fórmula da n-ésima soma parcial é
S_{n} = 5\Bigl(1 - \frac{1}{n+1}\Bigr),
e a série converge para
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{5}{k(k+1)} = 5.

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