Nos Exercícios 7-14, escreva os primeiros termos de cada série para mostrar como a série começa. Então, calcule a soma da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7}{4^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para escrever os primeiros termos da série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{7}{4^{n}}
e, em seguida, calcular a soma dessa série infinita. Trata-se de uma série geométrica com termo geral \frac{7}{4^n}.

Passo 2

Os primeiros termos dessa série são
\frac{7}{4},\quad \frac{7}{4^2},\quad \frac{7}{4^3},\quad \frac{7}{4^4},\;\dots

Passo 3

Numa série geométrica infinita \sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1}, o primeiro termo é a e a razão é r. Aqui, podemos reescrever
\frac{7}{4^n} = \frac{7}{4}\,\Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^{\,n-1},
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a = \frac{7}{4}, \quad r = \frac{1}{4}.

Passo 4

Como \lvert r\rvert < 1, a soma da série é dada por
S = \frac{a}{1 - r} = \frac{\tfrac{7}{4}}{1 - \tfrac{1}{4}} = \frac{\tfrac{7}{4}}{\tfrac{3}{4}} = \frac{7}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{3}

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