Use um SAC (sistema algébrico computacional) para seguir os passos indicados para as sequências nos Exercícios 135-146.
a. Calcule e então represente graficamente os 25 primeiros termos da sequência. A sequência parece ser limitada superior ou inferiormente? Parece convergir ou divergir? Se ela convergir, qual scrá o limite
?
b. Se a sequência convergir, encontre um inteiro
tal que
para
. Quão longe na sequência você deve chegar para que os termos estejam a menos de 0,0001 dc
?
a. Calcule e então represente graficamente os 25 primeiros termos da sequência. A sequência parece ser limitada superior ou inferiormente? Parece convergir ou divergir? Se ela convergir, qual scrá o limite
b. Se a sequência convergir, encontre um inteiro
Passo 1
O enunciado pede para a sequência
(a) calcular e graficar os 25 primeiros termos, verificar se ela é limitada e se converge, e em caso afirmativo identificar o limite
.
(b) encontrar um inteiro tal que
para
e, de modo análogo, o
para
.
(b) encontrar um inteiro
Conteúdo: análise de sequência, teste da razão, determinação de limite e estimativas de convergência.
Passo 2
Usando um SAC, defina
e compute a lista
por exemplo com
e plote com
para visualizar o comportamento até
.
Passo 3
Da tabela ou do gráfico observa-se que:
- Para
os termos crescem, atingindo o máximo em com - Para
os termos passam a decrescer e tendem a zero.
Como todos ossão positivos, a sequência é limitada inferiormente por e superiormente por . Pelo teste da razão
concluímos que a sequência converge e o limite é
Passo 4
Queremos
, isto é,
. A partir dos valores calculados no SAC nota-se que
Logo, basta tomar
pois para todo
vale
.
Passo 5
De modo semelhante, buscamos
tal que
. Inspeção dos dados mostra
Portanto
e para todo
teremos
.
Resposta
(a) Os 25 primeiros termos crescem até
(máximo
) e depois decrescem, indicando que a sequência é limitada inferiormente por
e superiormente por
, e converge. O limite é
(b) Para
basta
.
Para basta
.
Para