Use um SAC (sistema algébrico computacional) para seguir os passos indicados para as sequências nos Exercícios 135-146.
a. Calcule e então represente graficamente os 25 primeiros termos da sequência. A sequência parece ser limitada superior ou inferiormente? Parece convergir ou divergir? Se ela convergir, qual scrá o limite L ?
b. Se a sequência convergir, encontre um inteiro N tal que \left|a_{n}-L\right| \leq 0,01 para n \geq N. Quão longe na sequência você deve chegar para que os termos estejam a menos de 0,0001 dc L ?
a_{n}=\frac{8^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para a sequência
a_{n} = \frac{8^{n}}{n!}
(a) calcular e graficar os 25 primeiros termos, verificar se ela é limitada e se converge, e em caso afirmativo identificar o limite L.
(b) encontrar um inteiro N tal que \left|a_{n}-L\right|\le0,01 para n\ge N e, de modo análogo, o N para \left|a_{n}-L\right|\le0,0001.
Conteúdo: análise de sequência, teste da razão, determinação de limite e estimativas de convergência.

Passo 2

Usando um SAC, defina
a[n\_] := \frac{8^{n}}{n!}
e compute a lista
\{a[1],a[2],\dots,a[25]\}
por exemplo com
\text{Table}[a[n],\{n,1,25\}]
e plote com
\text{ListPlot}[\text{Table}[a[n],\{n,1,25\}],\text{PlotMarkers}\to\{\text{Automatic},10\}]
para visualizar o comportamento até n=25.

Passo 3

Da tabela ou do gráfico observa-se que:
  • Para 1\le n\le8 os termos crescem, atingindo o máximo em n=8 com a_{8} = \frac{8^{8}}{8!}\approx416{,}16.
  • Para n>8 os termos passam a decrescer e tendem a zero.
    Como todos os a_{n} são positivos, a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por a_{8}. Pelo teste da razão
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{8}{n+1}=0<1,
concluímos que a sequência converge e o limite é
L=\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Passo 4

Queremos \left|a_{n}-0\right|\le0,01, isto é, a_{n}\le0,01. A partir dos valores calculados no SAC nota-se que
a_{23}\approx0{,}0229>0{,}01,\quad a_{24}\approx0{,}0076\le0{,}01.
Logo, basta tomar
N_{0,01}=24,
pois para todo n\ge24 vale \left|a_{n}-L\right|\le0,01.

Passo 5

De modo semelhante, buscamos n tal que a_{n}\le0,0001. Inspeção dos dados mostra
a_{27}\approx0{,}0002226>0{,}0001,\quad a_{28}\approx0{,}0000636\le0{,}0001.
Portanto
N_{0,0001}=28,
e para todo n\ge28 teremos \left|a_{n}-L\right|\le0,0001.

Resposta

(a) Os 25 primeiros termos crescem até n=8 (máximo \approx416{,}16) e depois decrescem, indicando que a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por a_{8}, e converge. O limite é
L=0.
(b) Para \left|a_{n}-L\right|\le0,01 basta N=24.
Para \left|a_{n}-L\right|\le0,0001 basta N=28.

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