Encontre uma fórmula para o termo geral an da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continuem:
(a) 1,-13, 19,-127, 181, cdots
(b) 5,8,11,14,17, cdots
© 12,-43, 94,-165, 256, cdots
(d) -3,2,-43, 89,-1627, cdots

Passo 1

O enunciado pede para achar a fórmula do termo geral an para quatro sequências diferentes. Vamos usar conceitos de progressão geométrica, progressão aritmética e reconhecimento de sinais alternados para escrever cada termo em função de n.

Passo 2

Na sequência (a) 1,-tfrac13,tfrac19,-tfrac127,dots, observamos que cada termo é obtido multiplicando o anterior por -tfrac13. Isso caracteriza uma progressão geométrica de razão q=-tfrac13 e primeiro termo a1=1. Pela fórmula da PG temos an=a1,q^n-1=1l(-tfrac13r)^n-1

Passo 3

Na sequência (b) 5,8,11,14,17,dots, vemos que a diferença entre termos consecutivos é constante e igual a 3. Trata-se de uma progressão aritmética com primeiro termo a1=5 e razão d=3. A fórmula da PA é an=a1+(n-1)d=5+3(n-1)

Passo 4

Na sequência © tfrac12,-tfrac43,tfrac94,-tfrac165,tfrac256,dots, notamos dois padrões: o sinal alterna (positivo, negativo, positivo, …) e o módulo é n^2/(n+1). O sinal alternado vem de (-1)^n-1. Assim, combinando, obtemos an=(-1)^n-1dfracn^2n+1

Passo 5

Na sequência (d) -3,2,-tfrac43,tfrac89,-tfrac1627,dots, identificamos que cada termo é o anterior multiplicado por -tfrac23. Trata-se de uma progressão geométrica com razão q=-tfrac23 e primeiro termo a1=-3. Logo, an=a1,q^n-1=-3l(-tfrac23r)^n-1

Resposta

(a) an=l(-tfrac13r)^n-1
(b) an=5+3(n-1)
© an=(-1)^n-1n^2n+1
(d) an=-3l(-tfrac23r)^n-1

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